Задания для самостоятельного решения. Дифференциал функции многих переменных

Дифференциал функции многих переменных

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Придадим переменным в этой точке приращения . Тогда функция получит (полное) приращение

Функция называется дифференцируемой в точке , если существуют числа A₁, A₂,...,A_n, такие что

при , где . (Числа A₁, A₂,..., A_n не зависят от .)

Если имеет непрерывные частные производные первого порядка по всем переменным, то она дифференцируема, причём , ,..., .

Линейная часть приращения функции называется дифференциалом (первого порядка) функции и обозначается или просто .

Если являются независимыми переменными, то

Для дифференциала функции многих переменных справедливы те же правила, что и для функции одного переменного: , , .

Дифференциал от первого дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка и обозначается : . Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков: и т.д.

Дифференцирование сложной функции

Пусть – дифференцируемая функция от n переменных и пусть переменные , в свою очередь, являются дифференцируемыми функциями от переменных .

Тогда становится дифференцируемой функцией от переменных и при этом

В частности, если зависят от одного переменного t, то u становится функцией от одного переменного t и

Дифференцирование неявно заданной функции

Пусть функция F(x; y) определена в области (D) и (a; b), (c, d) – проекции (D) на оси 0x и 0y соответственно. Говорят, что уравнение

F(x; y) = 0

в области (D) задаёт неявную функцию y = f(x), если для любого уравнение имеет единственное решение (это решение и является правилом задания функции: каждому ставится в соответствие решение уравнения F(x; y) =0).

Если уравнение F(x; y) = 0 в (D) задаёт неявную функцию , F(x; y) дифференцируема в (D) и , то дифференцируема и

Вторая производная находится повторным дифференцированием последнего равенства.

Аналогично определяется неявная функция многих переменных. Пусть функция определена в области и – проекции (D) на n-мерную координатную плоскость и на ось 0u соответственно. Говорят, что уравнение

задаёт в (D) неявную функцию , если для любой точки уравнение имеет единственное решение . Если уравнение в области (D) задаёт неявную функцию , дифференцируема в (D) и всюду в (D), то функция является дифференцируемой и