Несобственные интегралы I рода
Пусть функция f (x) определена на 
и интегрируема на отрезке [ a, b ] для любого b > a. Несобственный интеграл первого рода определяется равенством
.
Если существует конечный предел в этом равенстве, то интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся. Аналогично определяются несобственные интегралы
, 
.
Несобственный интеграл I рода обладает свойством линейности:
(при условии сходимости интегралов в правой части равенства).
Для исследования вопроса сходимости несобственного интеграла часто оказывается полезным следующий факт: пусть a > 0, тогда 
сходится при p > 1 и расходится при 
. Аналогичное утверждение справедливо для интеграла 
, b < 0, и 
, a > c.
Теорема (первый признак сходимости). Пусть f (x) и g (x) определены на , для любого b > a f (x), g (x) интегрируемы на [ a, b ] и 
. Тогда имеем:
1) если 
сходится, то сходится и 
;
2) если расходится, то расходится и .
Теорема (второй признак сходимости). Пусть f (x) и g (x) определены на , 
, 
и пусть существует конечный предел 
. Тогда интегралы , ведут себя одинаково в смысле сходимости (т.е. одновременно сходятся или расходятся).
Теорема. Если 
сходится, то сходится и (в таком случае говорят, что сходится абсолютно).
Аналогичные утверждения справедливы для несобственного интеграла 
.
Задачи
Рассмотрим в аудитории типичные примеры, для решения которых используются приведенные определения, теоремы и понятия.
1. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
1) 
; 2) 
; 3) 
.
Решение. Вычислим несобственные интегралы с бесконечными пределами:
1) 
.
Несобственный интеграл сходится, так как существует конечный предел соответствующего собственного интеграла с переменным нижним пределом.
2) 
.
Несобственный интеграл расходится, так как не существует конечного предела.
3) 
.
Несобственный интеграл сходится.
2. Исследовать на сходимость интегралы:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
; 9) 
.
Решение. 1) .
Пусть 
, так как 
- расходится, 
, согласно первому признаку сравнения исходный интеграл тоже расходится.
2) .
При 
, тогда 
, 
- расходится, 
, следовательно, заданный несобственный интеграл расходится тоже.
3) .
При 
, 
, 
- сходится, 
, по первому признаку сравнения интеграл тоже сходится.
4) .
Так как 
, 
- сходится эталонный интеграл, следовательно, 
, данный интеграл тоже сходится.
5) 
.
Пусть 
, сравним с 
, 
- сходится. Тогда 
, оба несобственных интеграла сходятся по предельному признаку сравнения.
Задания для самостоятельного решения
1. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
; 9) 
;
10) 
; 11) 
; 12) 
;
13) 
; 14) 
; 15) 
;
Ответ. 1) Расходится; 2) 
; 3) 
; 4) 
;
5) Расходится; 6) 
; 7) 
; 8) ;
9) 
; 10) 
; 11) 
;
12) Расходится; 13) Расходится; 14) 
; 15) 
;
2. Исследовать на сходимость интегралы:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
; 9) 
;
Ответ. 1) Сходится; 2) Расходится; 3) Сходится;
4) Сходится; 5) Сходится; 6) Расходится;
7) Сходится; 8) Сходится; 9) Расходится;
