Задания для самостоятельного решения. Несобственные интегралы I рода

Несобственные интегралы I рода

Пусть функция f (x) определена на и интегрируема на отрезке [ a, b ] для любого b > a. Несобственный интеграл первого рода определяется равенством

.

Если существует конечный предел в этом равенстве, то интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся. Аналогично определяются несобственные интегралы

, .

Несобственный интеграл I рода обладает свойством линейности:

(при условии сходимости интегралов в правой части равенства).

Для исследования вопроса сходимости несобственного интеграла часто оказывается полезным следующий факт: пусть a > 0, тогда сходится при p > 1 и расходится при . Аналогичное утверждение справедливо для интеграла , b < 0, и , a > c.

Теорема (первый признак сходимости). Пусть f (x) и g (x) определены на , для любого b > a f (x), g (x) интегрируемы на [ a, b ] и . Тогда имеем:

1) если сходится, то сходится и ;

2) если расходится, то расходится и .

Теорема (второй признак сходимости). Пусть f (x) и g (x) определены на , , и пусть существует конечный предел . Тогда интегралы , ведут себя одинаково в смысле сходимости (т.е. одновременно сходятся или расходятся).

Теорема. Если сходится, то сходится и (в таком случае говорят, что сходится абсолютно).

Аналогичные утверждения справедливы для несобственного интеграла .

 

 

Задачи

Рассмотрим в аудитории типичные примеры, для решения которых используются приведенные определения, теоремы и понятия.

1. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

1) ; 2) ; 3) .

Решение. Вычислим несобственные интегралы с бесконечными пределами:

1) .

Несобственный интеграл сходится, так как существует конечный предел соответствующего собственного интеграла с переменным нижним пределом.

2) .

Несобственный интеграл расходится, так как не существует конечного предела.

3) .

Несобственный интеграл сходится.

 

2. Исследовать на сходимость интегралы:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) .

Решение. 1) .

Пусть , так как - расходится, , согласно первому признаку сравнения исходный интеграл тоже расходится.

2) .

При , тогда , - расходится, , следовательно, заданный несобственный интеграл расходится тоже.

3) .

При , , - сходится, , по первому признаку сравнения интеграл тоже сходится.

4) .

Так как , - сходится эталонный интеграл, следовательно, , данный интеграл тоже сходится.

5) .

Пусть , сравним с , - сходится. Тогда , оба несобственных интеграла сходятся по предельному признаку сравнения.

 

Задания для самостоятельного решения

1. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ;

Ответ. 1) Расходится; 2) ; 3) ; 4) ;

5) Расходится; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ;

12) Расходится; 13) Расходится; 14) ; 15) ;

 

 

2. Исследовать на сходимость интегралы:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

 

Ответ. 1) Сходится; 2) Расходится; 3) Сходится;

4) Сходится; 5) Сходится; 6) Расходится;

7) Сходится; 8) Сходится; 9) Расходится;