Задания для самостоятельного решения. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Блок №1.

Определение функции

Арифметическим n-мерным пространством A_n называется совокупность всевозможных упорядоченных наборов действительных чисел (x₁; x₂;...; x_n), называемых точками A_n. В A_n вводится расстояние между точками и

по формуле

.

Пусть (D) – некоторое множество в A_n. Если задано правило f, согласно которому каждой точке ставится в соответствие вполне определённое число , то говорят, что на множестве (D) задана функция от переменных Множество (D) называется множеством определения функции f, а множество существует MÎ (D), такое что называется множеством значений этой функции. Множество точек пространства A_n+1 называется графиком функции . В случае функции двух переменных график функции (при некоторых ограничениях на f) оказывается поверхностью в пространстве R₃.

Предел и непрерывность функции

Число A называется пределом функции при стремлении точки к точке , если для любого существует такое , что неравенство

влечет неравенство .

При этом пишут или .

Предел функции многих переменных обладает практически теми же свойствами, что и предел функции от одного переменного (предел суммы равен сумме пределов и т. п.).

Функция , определённая в некоторой окрестности точки , называется непрерывной в этой точке, если . В противном случае (т.е. f(M) не определена или не существует конечного предела ) точка M называется точкой разрыва функции . Функция, непрерывная в каждой точке области (D), называется непрерывной в (D). Сумма, произведение, частное (при условии, что знаменатель не стремится к нулю), суперпозиция непрерывных функций являются непрерывными функциями.

Частные производные

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Придадим переменному x_k в этой точке приращение . Тогда функция получит приращение

.

Конечный предел (если он существует)

называется частной производной (первого порядка) функции по переменному x_k в точке и обозначается или или . Процесс нахождения частной производной называют дифференцированием функции.

Для частных производных справедливы те же правила дифференцирования, что и для функции одного переменного (формулы производной суммы, произведения и т.п.).

При нахождении частной производной по переменному x_k следует действовать так, как если бы все остальные переменные являлись постоянными величинами.

Частная производная от частной производной первого порядка называется частной производной второго порядка. Приняты следующие обозначения частных производных второго порядка функции :

.

Аналогично определяются частные производные более высоких порядков.

Возникает естественный вопрос: зависят ли частные производные высших порядков от порядка дифференцирования. Оказывается, что, вообще говоря, смешанные производные зависят от порядка дифференцирования. Однако справедливо следующее утверждение.

Теорема. Если все частные производные функции до m-го порядка включительно непрерывны, то смешанные производные m-го порядка не зависят от порядка дифференцирования.

 

Задания для самостоятельного решения

1. Найти для функции и значение частной производной в указанной точке (M).

;

;

.

Ответ. 1) 2) 3)

 

2. Доказать, что функция удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных