Предел и непрерывность функции в точке.
. Пусть функция f определена в ПО(a,ra>0)→ рассмотрим значения f(x)
в точках, «близких» к а.
Определение 1 
называется пределом функции f «в точке 
»,
если её значения в точках, «достаточно близких к а», сколь угодно мало отличаются от А:
Эпсилон-дельта определение предела функции в точке:
(1) Определить (записать 
): 
)
(2) Какие из записей f(1)=2; f(1)=∞; f(∞)=2; f(∞)=-∞ не определены?
Заменить их соответствующими «корректными» записями.
Определение 2. Функция f называется непрерывной в точке х=а 
», если её 
предел
в точке равен значению функции в точке 
Утверждение 1. Элементарные функции (степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические; их суммы, разности, произведения, отношения и композиции непрерывны ВО ВНУТРЕННИХ ТОЧКАХ области определения.
Следствие. Вычисление предела непрерывной функции сводится к вычислению её значения в точке.
Утверждение 2 (арифметические свойства предела).
Если существуют пределы функций 
и для них определена арифмиетическая операция (*) 
, 
(предел суммы, разности, произведения и отношения функций равен сумме, разности, произведению и отношению их пределов).
Замечание. Для «раскрытия» неопределённостей вида “0/0”, “∞/∞”, “∞ - ∞”, “0∙∞”
рекомендуется использовать алгебраические преобразования: вынесение множителя из суммы,
умножение числителя и знаменателя дроби на подходящий множитель (≠0), формулы сокращённого умножения. (см. 3. Введение в анализ, Е.Е. Жукова)
Примеры.
1. 
Бесконечно-малые (б.м.) функции и их сравнение. Таблица равносильных б.м..
Функция α(x) называется бесконечно малой при х→а, если 
.
Например, x2- x; ex-1, tg(x), sin(x), cos(x)-1, ln(1+x) - б.м. при х-->0;
ln(x), (x-1)3 - б.м. при х-->1; h(x)=1/x - б.м. при х-->∞.
Пусть α(х) и β(х) - б/м при х®a. Рассмотрим предел их отношения, который, очевидно, определяется «скоростью» убывания этих функций при х→а:
Определение( Сравнение б.м.)
Пусть существует предел отношения б/малых 
.
(1) Если q=0, «α(x) называют « б.м. более высокого порядка малости при х→а» и пишут
(о-малое отн. β(х)) ⇔ 
(2) Если q = ∞ β(x) называют « б.м. более высокого порядка малости при х→а» и пишут
(о-малое отн. α(х)) ⇔ 
(3) Если q=1, α(х),b(х) называют «равносильными (эквивалентными) б.м. при х→а» и пишут 
⇔ 
1
Следствия
(1 ) Если f непрерывнав точке «а» ( 
), то функция α(х) =f(x)-f(a) – б/м при х→а.
(2) Линейная комбинация конечного числа бесконечно малых - бесконечно малая функция
α, β - б.малые и 
γ(x) = С1∙α(x) +C2∙β(x) -б. малая;
(3) Произведение б. малых - б.малая более высокого порядка малости, чем любой множитель:
a,b - б. малые при x a γ(x) = a(x)∙ b(x) 
.(4) 
Например, известно, что 
ТАБЛИЦА РАВНОСИЛЬНЫХ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ПРИ t 0.
| 1) sin(t) ~t | 2) arcsin(t)~t | 3) tg(t) ~t |
| 4) arctg(t)~t | 5)1 - cos(t) ~t2/2 | 6) ln(1 + t) ~ t |
| 7) et- 1~ t | 8) at- 1 ~ t∙ln(a); a>0; a1 et – 1 ~ t | 9) 
|
Приложение.
При вычислении пределов б.м. множители можно заменять на им равносильные б. малые.
Например, 
========================================
ИДЗ-1 по теме «Вычисление предела функции в точке» Максимальная оценка: 12 баллов; Зачёт: ≥8 баллов.
Задание. Вычислить 4 предела,
раскрыв неопределённости алгебраическими методами,
заменой бесконечно малых функций на им равносильные,
используя Основное Логарифмическое Тождество.
