Узагальнення для несиметричної матриці.

Л.6. Метод квадратного кореня.

[БЖК[М.1], с. 262-265; СГ[М.2], с.69-73; ОП[М.3], с. 95-98]

Це - метод для симетричної матриці, А = А^*.

Варіант 1. Полягає у представленні А = LL^*, де L – нижня трикутна матриця, l_ij= 0, якщо i < j.

Ax = f; x = f.

Спочатку розв’язують систему:

а потім

В обох системах матриці трикутні, тому розв’язання є простим. Прямий хід:

Зворотній хід:

Формули для одержуємо безпосередньо з виразу А = LL^*:

Зауваження 1. У формулах методу присутня операція квадратного кореня. Метод працює, навіть якщо під коренем будуть від’ємні вирази. Тоді серед з’являється чисто уявні значення. Програмування методу вимагає реалізації комплексних чисел.

Зауваження 2. Якщо під коренем буде нуль, то = 0 і метод не працює (ділення на нуль). Це означає, що не будь-яку симетричну матрицю можна представити у вигляді добутку LL^*.

Зауваження 1 приводить до модифікації методу квадратного кореня, яка не вимагає комплекснозначної реалізації.

Варіант 2. Матрицю А представляють у вигляді А = LDL^*, де L – нижня трикутна матриця, D - діагональна матриця, причому , у залежності від знаку виразу під коренем. Формули методу:

Метод працює у множині дійсних чисел незалежно від знаків діагональних елементів. Якщо деяке l_kk = 0, k<n, то представлення А = LDL^* є нездійсненним.

Тоді, вводячи позначення L^*x = z, Dz = y, Ly = f, маємо

Варіант 3. Матрицю А представляють у вигляді А = LDL^*, де L – нижня трикутна матриця з одиницями на головній діагоналі, D - діагональна матриця. При цьому виявляється, що d_ii стає рівним отому виразу, від'ємність якого була критичною у варіанті 1. Формули методу:

Метод працює у множині дійсних чисел незалежно від знаків діагональних елементів і, на відміну від попереднього варіанту, не вимагає використання функції кореня квадратного. Умова l_kk = 0, k<n, залишається критичною.

Узагальнення для несиметричної матриці.

У багатьох задачах, зокрема при обчисленні власних чисел та векторів вимагається представлення матриці у вигляді А = LDU, де L та U – нижня та верхня трикутні матриці з одиницями на головній діагоналі; D – діагональна матриця.

Нехай