Визначник другого порядку
Якщо порядок матриці 
, тобто матриця має вигляд:
.
то визначник матриці 
матиме вигляд:
.
Приклад. Обчислити визначник:
.
Розв’язання.
.
Відповідь. 
.
Визначник третього порядку
Формула для обчислення визначника третього порядку
Правило трикутників:
Правило Саррюса (правило приписування стовпців):
2.4 Властивості визначників
1. Визначник не змінюється в результаті транспонування.
2. Якщо один із рядків (стовпців) визначника складається лише з нулів, то такий визначник дорівнює нулю.
3. Якщо поміняти місцями будь-які два рядки (стовпці) визначника, то його знак зміниться на протилежний.
4. Визначник, який має два однакові рядки (стовпці), дорівнює нулю.
5. Якщо елементи будь-якого рядка (стовпця) визначника помножити на стале число С, то й визначник помножиться на С.
Наслідок: с пільний множник елементів рядка (стовпця) можна виносити за знак визначника.
6. Визначник, який має два пропорційні рядки (стовпці), дорівнює нулю.
7. Якщо всі елементи будь-якого рядка (стовпця) визначника можна подати у вигляді суми двох доданків, то такий визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких елементами цього рядка будуть відповідно перший доданок у першому визначнику і другий доданок у другому визначнику, а решта елементів будуть ті самі, що й у початковому визначнику.
8. Визначник не зміниться, якщо до елементів будь-якого рядка (стовпця) додати відповідні елементи довільного іншого рядка (стовпця), попередньо помножені не деяке число.
9. Визначник добутку матриць рівний добутку визначників матриць.
Приклад. Обчислити визначник за допомогою правила трикутників і правила приписування стовпців:
.
Розв’язання.
Обчислимо визначник за допомогою правила трикутників.
.
Тепер обчислимо визначник за допомогою правила приписування стовпців.
.
Відповідь. 
.
2.5 Мінори та алгебраїчні доповнення
Розглянемо визначник 
-го порядку. Викреслимо в ньому елементи 
-го рядка і j-го стовпця. Помітимо,що на їх перехресті міститься елемент 
.
Мінором 
елемента визначника -го порядку, називається визначник 
- го порядку, який складається із не викреслених елементів визначника.
Наприклад, мінором 
елемента 
визначника третього порядку (викреслюємо 3-ій рядок 2-ий стовпець)
буде визначник другого порядку
.
З поняттям мінора 
зв’язане поняття алгебраїчного доповнення.
Алгебраїчне доповнення 
елемента дорівнює мінору того ж елемента, якщо 
– число парне, і дорівнює 
, якщо – число непарне.
.
Приклад. Обчислити 
, 
, 
, 
, якщо заданий визначник третього порядку:
.
Розв’язання.
Для того, щоб знайти , потрібно у визначнику 
викреслити перший рядок і другий стовпець, тоді:
.
Алгебраїчне доповнення від мінора буде відрізнятись лише знаком. Дійсно 
- число непарне, тому
.
Знайдемо мінор , викреслюємо у визначнику третій рядок і перший стовпець:
.
Зразу помітимо, що 
- число парне, тому 
.
Відповідь. 
, 
, 
, 
.
2.6 Визначники вищих порядків
Визначник матриці 𝑛-го порядку рівний сумі добутків елементів однієї стрічки чи стовпця на їх алгебраїчні доповнення.
Запис визначника -го порядку через алгебраїчні доповнення -го порядку називають розкладом по -ій стрічці чи 
-му стовпцю.
Для визначника третього порядку існує шість формул обчислення детермінанту (три рядка + три стовпця). Наприклад,розглянемо визначник за елементами другого рядка.
.
А тепер розкладемо визначник за елементами третього стовпця.
.
Таким чином, щоб обчислити визначник третього порядку можна використати правило трикутників, правило приписування стовпців і правило розкладання за елементами якого-небудь рядка (стовпця).
Визначники порядку вище третього можна обчислити тільки по правилу розкладання за елементами рядка (стовпця). Цей метод дає можливість обчислення визначника -го порядку звести до обчислення -го порядку. Очевидно, що обчислення визначника можна скоротити, якщо розкладати його за елементами рядка (стовпця), у якого деякі елементи дорівнюють нулю.
Розглянемо «метод утворення нулів».
Він ґрунтується на використанні властивості 8.
Приклад. Утворити нулі в якому-небудь рядку (стовпцю).
.
Розв’язання.
Помітимо, що простіше утворювати нулі в тому рядку (стовпцю) де маємо елемент 1 (або 
). Виберемо перший стовпець.
Елементи першого рядка помножимо на 
і відповідно додамо до елементів другого рядка (значення визначника не зміниться):
.
Потім перший рядок помножимо на 
і додамо до елементів третього рядка:
.
І, нарешті, перший рядок помножимо на 
і додамо до елементів четвертого рядка:
.
В першому стовпці одержали три нулі. Зрозуміло, що розкривати визначник зручно за першим стовпцем.
Приклад. Обчислити визначник:
.
Розв’язання.
Цей приклад можна розв’язати двома способами. Перший: вибрати рядок або стовпець,бажано де є нуль і розкласти за вибраним рядком (стовпцем). Можна вибрати 1-й, 2-й, 3-й рядки або 1-й, 2-й, 3-й стовпці. Другий спосіб: утворити в якому-небудь рядку (стовпці) якнайбільше нулів і розкласти визначник по цьому рядку (стовпцю). Розглянемо обидва способи.
І спосіб. Розкладемо визначник, наприклад, за третім рядком:
.
ІІ спосіб. Виберемо перший стовпець і утворимо в ньому нулі.
{елементи першого рядка помножимо на 
і додамо до елементів третього рядка}
{ елементи першого рядка помножимо на і додамо до елементів четвертого рядка }
.
А тепер розкладемо визначник за першим стовпцем:
.
Відповідь. 
.
Завдання для самоконтролю
1. Чим відрізняється поняття матриці від поняття визначника?
2. Чи може матриця порядку 
мати визначник?
3. Що буде з визначником, якщо поміняти місцями два рядка?
4. Що таке мінор ?
5. Чим відрізняється мінор від алгебраїчного доповнення ?
6. За яким правилом обчислюються визначники, які мають порядок вище третього?
7. Обчислити визначники другого порядку матриць:
7.1 
;
7.2 
;
7.3 
;
7.4 
.
8. Обчислити визначники третього порядку матриць:
8.1 
;
8.2 
;
8.3 
;
8.4 
.
9. Розв’язати рівняння та нерівності:
9.1 
;
9.2 
.
10. Обчислити визначники завдання 8, використовуючи формулу розкладу визначника за елементами рядка чи стовпця.
11. Обчислити визначники четвертого порядку, використовуючи формулу розкладу визначника за елементами рядка чи стовпця:
11.1 
;
11.2 
;
11.3 
11.4 
.
