Основы теории погрешности.

Определение. Приближенным числом a называется число, незначительно отличающееся от точного числа A и заменяющее последнее в вычислениях.

Математическая запись .

Определение. Под абсолютной погрешностью Δ приближенного числа a понимается разность .

Отсюда следует, что А заключено в пределах

или .

Определение. Относительной погрешностью приближенного числа a называется отношение абсолютной погрешности этого числа к модулю соответствующего точного числа

Так как A обычно неизвестно, то на практике применяют оценку

Всякое положительное число a может быть представлено в виде конечной или бесконечной десятичной дроби

где - цифра числа a в i – м разряде, m – старший десятичный разряд числа.

Пример:

Определение. Значащей цифрой приближенного числа a называется всякая цифра в его десятичном представлении, отличная от нуля, и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда.

Пример. a = 0,002080. Здесь только первые три ноля не являются значащими.

Определение. n первых значащих цифр приближенного числа a являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины разряда, выражаемого n – й значащей цифрой, считая слева направо. Цифры, не являющиеся верными, называются сомнительными.

Пример. Если в числе a = 0,03450 все цифры верные, то .

Таким образом, если для приближенного числа a известно, что

то, по определению, первые n цифр этого числа являются верными.

Пример. a = 36,00, . Тогда

Т.е. m-n+1=-1. Т.к. m = 1, то n = 3. Следовательно, приближенное число a имеет 3 верных цифры и его следует округлить следующим образом: a = 36,0

Примеры решения заданий:

Пример: абсолютная и относительная погрешность числа с верными цифрами.

Х = 984,6 определить абсолютную и относительную погрешности числа, которое содержит только верные цифры.

Решение.

Пример: абсолютная и относительная погрешность округленного числа.

Округляя число х = 1,1426 до четырех значащих цифр, определить абсолютную и относительную погрешности полученных приближений.

Решение.

Округлим число х до четырех значащих цифр: х_х =1,143.

По определению верной цифры абсолютная погрешность =0,0005.

Абсолютная погрешность округленного числа равна сумме погрешности исходного числа и погрешности округления

Относительная погрешность округленного числа

Задания к лабораторной работе

1. Найти абсолютные и относительные погрешности чисел, если они имеют только верные цифры:

1.1. а) 11,445 б) 2,043

1.2. а) 8,345 б) 0,288

1.3. а) 0,374 б) 4,348

1.4. а) 41,72 б) 0,678

1.5. а) 0,3648 б) 21,7

1.6. а) 20,43 б) 0,576

1.7. а) 2,4342 б) 0,0078

1.8. а) 25,613 б) 2,5008

1.9. а) 112,45 б) 0,57

1.10. а) 12,688 б) 0,863

1.11. а) 3,75 б) 6,8343

1.12. а) 3,425 б) 7,38

2. Число х, все цифры которого верны, округлить до трех значащих цифр. Для полученного результата х₁ ≈ х вычислить границы абсолютной и относительной погрешности.