Геометрический смысл производной

Производная функции одной переменной

Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки x ₀, (включая саму эту точку).

Если существует предел отношения приращения функции Δ y = f (x ₀ + Δ x) − f (x ₀) к вызвавшему его приращению аргумента Δ x, когда Δ x → 0, то этот предел называется производной функции y = f (x) в точке x ₀ и обозначается символом f '(x ₀), т.е.

 

f '(x 0) = lim Δ x → 0   Δ y Δ x = lim Δ x → 0   f (x 0 + Δ x) − f (x 0) Δ x .

 

Наряду с обозначением производной f '(x) функции y = f (x) в произвольной точке х используют и другие обозначения:

 

y '(x), y ' x, dy dx , df (x) dx .

 

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Таблица производных элементарных функций

(xα) ' = α xα − 1
(ax) ' = ax ln a	(log ax) ' =   x ln a
(ex) ' = ex	(ln x)' =   x
(sin x)' = cos x	(arcsin x)' =   √ 1 − x 2
(cos x)' = − sin x	(arccos x) ' = −   √ 1 − x 2
(tg x)' =   cos2 x	(arctg x)' =   1 + x 2
(ctg x)' = −   sin2 x	(arcctg x)' = −   1 + x 2
(sh x)' = ch x	(Arsh x)' =   √ x 2 + 1
(ch x)' = sh x	(Arch x) ' =   √ x 2 − 1
(th x)' =   ch2 x	(Arth x)' =   1 − x 2
(cth x)' = −   sh2 x	(Arcth x)' =   1 − x 2

Доказательства формул приведены в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 92–94 и 105.

Дифференцирование суммы, произведения и частного двух функций

Теорема 1. Пусть функции u = u (x) и v = v (x) имеют производные в точке х₀. Тогда в этой точке имеют производные их сумма, произведение и, при дополнительном условии v (x ₀) ≠ 0, их частное, причем:

 

(u ± v) ' = u ' ± v ', (u · v) ' = u ' · v + u · v ', æ è u v ö ø   ' = u ' · v − u · v ' v 2 .

 

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 90.

Замечания.

1. Из превила дифференцирования произведения с учетом того, что производная постоянной функции равна нулю получаем:

 

(C · v) ' = C · v ';

 

2. Используя это свойство и правило дифференцирования суммы, получаем

 

(C 1 · u 1 + C 2 · u 2 + … + Cn · un) ' = C 1 · u 1 ' + C 2 · u 2 ' + … + Cn · un ',

 

где C ₁, C ₂, …, C_n — некоторые числа.

Иными словами, дифференцирование — это линейный оператор.

Теорема 2. Если функция f (x) имеет производную в точке х₀, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 88.

Геометрический смысл производной

Теорема 3. Непрерывная функция y = f (x) имеет в точке x ₀ конечную производную f '(x ₀) тогда и только тогда, когда ее график в точке (x ₀, f (x ₀) имеет касательную с угловым коэффициентом

 

tg α = f '(x 0) (− π /2 < α < π /2).

 

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 85.

Таким образом значение производной f '(x ₀) равно угловому коэффициенту касательной к графику функции f (x) в точке M ₀(x ₀, f (x ₀)) (рис. 1).

Уравнение касательной к графику функции y = f (x) в точке (x ₀, f (x ₀)) получается как уравнение прямой, проходящей через точку (x ₀, f (x ₀)), с угловым коэффициентом k = f '(x ₀) и имеет вид

 

y − f (x 0) = f '(x 0) (x − x 0).

 

Уравнение нормали к графику функции y = f (x) в точке (x ₀, f (x ₀)) имеет вид

 

y − f (x 0) = −   f '(x 0) (x − x 0).

 

Если f '(x ₀) = 0, то уравнение нормали x = x ₀.

Замечание. Если в точке x ₀ производная f '(x ₀) = ± ∞, то в точке M ₀(x ₀, f (x ₀)) существует вертикальная касательная и ее уравнение имеет вид x = x ₀ (рис. 2). Уравнение соответствующей нормали y = f (x ₀).