Геометрический смысл производной

Производная функции одной переменной

Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки x ₀, (включая саму эту точку).

Если существует предел отношения приращения функции Δ y = f (x ₀ + Δ x) − f (x ₀) к вызвавшему его приращению аргумента Δ x, когда Δ x → 0, то этот предел называется производной функции y = f (x) в точке x ₀ и обозначается символом f '(x ₀), т.е.

f '(x ₀) =

lim

Δ x → 0

Δ y

Δ x

lim

Δ x → 0

f (x ₀ + Δ x) − f (x ₀)

Δ x

Наряду с обозначением производной f '(x) функции y = f (x) в произвольной точке х используют и другие обозначения:

y '(x), y ' _x,

df (x)

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Таблица производных элементарных функций

(x^α) ^' = α x^α ^{− 1}

(a^x) ^' = a^x ln a

(log _ax) ' =

x ln a

(e^x) ^' = e^x

(ln x)' =

(sin x)' = cos x

(arcsin x)' =

√

1 − x ²

(cos x)' = − sin x

(arccos x) ' = −

√

1 − x ²

(tg x)' =

cos² x

(arctg x)' =

1 + x ²

(ctg x)' = −

sin² x

(arcctg x)' = −

1 + x ²

(sh x)' = ch x

(Arsh x)' =

√

x ² + 1

(ch x)' = sh x

(Arch x) ' =

√

x ² − 1

(th x)' =

ch² x

(Arth x)' =

1 − x ²

(cth x)' = −

sh² x

(Arcth x)' =

1 − x ²

Доказательства формул приведены в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 92–94 и 105.

Дифференцирование суммы, произведения и частного двух функций

Теорема 1. Пусть функции u = u (x) и v = v (x) имеют производные в точке х₀. Тогда в этой точке имеют производные их сумма, произведение и, при дополнительном условии v (x ₀) ≠ 0, их частное, причем:

(u ± v) ' = u ' ± v ', (u · v) ' = u ' · v + u · v ',

æ è

ö ø

' =

u ' · v − u · v '

v ²

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 90.

Замечания.

1. Из превила дифференцирования произведения с учетом того, что производная постоянной функции равна нулю получаем:

(C · v) ' = C · v ';

2. Используя это свойство и правило дифференцирования суммы, получаем

(C ₁ · u ₁ + C ₂ · u ₂ + … + C_n · u_n) ' = C ₁ · u ₁ ' + C ₂ · u ₂ ' + … + C_n · u_n ',

где C ₁, C ₂, …, C_n — некоторые числа.

Иными словами, дифференцирование — это линейный оператор.

Теорема 2. Если функция f (x) имеет производную в точке х₀, то она непрерывна в этой точке.

Геометрический смысл производной

Теорема 3. Непрерывная функция y = f (x) имеет в точке x ₀ конечную производную f '(x ₀) тогда и только тогда, когда ее график в точке (x ₀, f (x ₀) имеет касательную с угловым коэффициентом

tg α = f '(x ₀) (− π /2 < α < π /2).

Таким образом значение производной f '(x ₀) равно угловому коэффициенту касательной к графику функции f (x) в точке M ₀(x ₀, f (x ₀)) (рис. 1).

Уравнение касательной к графику функции y = f (x) в точке (x ₀, f (x ₀)) получается как уравнение прямой, проходящей через точку (x ₀, f (x ₀)), с угловым коэффициентом k = f '(x ₀) и имеет вид

y − f (x ₀) = f '(x ₀) (x − x ₀).

Уравнение нормали к графику функции y = f (x) в точке (x ₀, f (x ₀)) имеет вид

y − f (x ₀) = −

f '(x ₀)

(x − x ₀).

Если f '(x ₀) = 0, то уравнение нормали x = x ₀.

Замечание. Если в точке x ₀ производная f '(x ₀) = ± ∞, то в точке M ₀(x ₀, f (x ₀)) существует вертикальная касательная и ее уравнение имеет вид x = x ₀ (рис. 2). Уравнение соответствующей нормали y = f (x ₀).