Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня
Если характеристическое уравнение 
имеет два различных действительных корня 
, 
(т.е., если дискриминант 
), то общее решение однородного уравнения выглядит так:
, где 
– константы.
В случае если один из корней равен нулю, решение очевидным образом упрощается; пусть, например, 
, тогда общее решение: 
.
Пример 1
Решить дифференциальное уравнение 
Решение: составим и решим характеристическое уравнение:
, 
Получены два различных действительных корня (от греха подальше лучше сразу же выполнить проверку, подставив корни в уравнение).
Всё, что осталось сделать – записать ответ, руководствуясь формулой
Ответ: общее решение: 
Характеристическое уравнение имеет два кратных действительных корня
Если характеристическое уравнение имеет два кратных (совпавших) действительных корня 
(дискриминант 
), то общее решение однородного уравнения принимает вид:
, где – константы.
Вместо в формуле можно было нарисовать , корни всё равно одинаковы.
Если оба корня равны нулю 
, то общее решение опять же упрощается: 
. Кстати, 
является общим решением того самого примитивного уравнения 
, о котором я упоминал в начале урока. Почему? Составим характеристическое уравнение: 
– действительно, данное уравнение как раз и имеет совпавшие нулевые корни .
Пример 3
Решить дифференциальное уравнение 
Решение: составим и решим характеристическое уравнение:
Здесь можно вычислить дискриминант, получить ноль и найти кратные корни. Но можно невозбранно применить известную школьную формулу сокращенного умножения:
(конечно, формулу нужно увидеть, это приходит с опытом решения)
Получены два кратных действительных корня 
Ответ: общее решение: 
Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни
Для понимания третьего случая требуются элементарные знания про комплексные числа. Если материал позабылся, прочитайте урок Комплексные числа для чайников, в частности, параграф Извлечение корней из комплексных чисел.
Если характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни 
, 
(дискриминант 
), то общее решение однородного уравнения принимает вид:
, где – константы.
Примечание: Сопряженные комплексные корни почти всегда записывают кратко следующим образом: 
Если получаются чисто мнимые сопряженные комплексные корни: 
, то общее решение упрощается:
Пример 5
Решить однородное дифференциальное уравнение второго порядка
Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:
– получены сопряженные комплексные корни
Ответ: общее решение: 
Как видите, особых сложностей с однородными уравнениями нет, главное, правильно решить квадратное уравнение.
Иногда встречаются нестандартные однородные уравнения, например уравнение в виде 
, где при второй производной есть некоторая константа 
, отличная от единицы (и, естественно, отличная от нуля). Алгоритм решения ничуть не меняется, следует невозмутимо составить характеристическое уравнение и найти его корни. Если характеристическое уравнение 
будет иметь два различных действительных корня, например: 
, то общее решение запишется по обычной схеме: 
.
В ряде случаев из-за опечатки в условии могут получиться «нехорошие» корни, что-нибудь вроде 
. Что делать, ответ придется записать так:
С «плохими» сопряженными комплексными корнями наподобие 
тоже никаких проблем, общее решение:
То есть, общее решение в любом случае существует. Потому что любое квадратное уравнение имеет два корня.
