Анықталған интегралда бөлшектеп интегралдау.

Анықталған интегралда бөлшектеп интегралдау формуласы: болады. Мысалы.

3. Дәрежелік қатар. Жинақталу облысы.

Анықтама. және функциялық қатары дәрежелік қатар деп аталады. Мұндағы a белгілі нақты сандыр, ал х нақты айнымалы шама.

Теорема. (Абель теоремасы). Егер дәрежелік қатар х – тің х=х₀ м2н3нде жина0талатын 0атар болса6 онда ол теңсіздігін қанағаттандыратын х – тің барлық мәндерінде абсолютті жинақталады.

Теорема. Егер дәрежелік қатар х=х₀ мәнінде жинақталмайтын болса, онда ол х – тің теңсіздігіе қанағаттандыратын барлық мәндерінде де жинақталмайды.

Анықтама. Егер дәрежелік қатар болғанда жинақталатын қатар, ал болғанда жинақталмайтын қатар болса, онда R саны дәрежелік қатардың жинақталу радиусы деп аталады.

Сонымен қатардың жинақталу облысы

(-R,R) интервалы болып табылады, интервал ұштарында қатардың жинақталу немесе жинақталмауы туралы мәселе x=-R және x=R мәндерін қатарға қойғанда шығатын сәйкес сандық қатарларды зерттеу арқылы шешіледі, егер бұл сан қатарлары жинақталатын қатарлар болса, онда олардың жинақталуы абсолютті де немесе абсолютсіз де болуы мүмкін.

Дәрәжелік қатардың жинақталу радиусын табу үшін Даламбер белгісін қолдану мумкіндігі туады. Онда .

Немесе Коши белгісін пайдалансақ, онда .

Теорема. дәрежелік қатарды [0,x] аралығында мүшелеп интегралдауға болады, яғни егер S(x) арқылы қатар қосындысын белгілесек, онда

Теорема. дәрежелік қатарды өзінің жинақталу аралығы ішінде мүшелеп дифференциялдауға болады, яғни мына теңдік орындалады

Енді жалпы түрдегі дәрежелік қатарды қарастырамыз

х – тің теңсіздігінқанағаттандыратын мәндері үшін қатар жинақталады, ал болғанды жинақталмайды дейік. Бұл жағдайда R саны қатарының жинақталу радиусы, ал (x₀-R, x₀+R) интервалы ө жинақталу интервалы деп аталады.

Теорема. Егер f функциясы x=x₀ нүктесі маңайында жинақталу радиусы R санына тең болатын

f(x)=

қатары арқылы берілсе, онда бұл қатардың коэффициенттері

теңдіктері бойынша анықталады. Сондықтан ол қатар былай жазылады

Анықтама. f(x) функциясы x=x₀ нүктесінің кейбір маңайында анықталған болсын және осы нүктеде функцияның барлық ретті туындысы бар дейік. Сонда

қатары f(x) функциясының х₀ нүктесіндегі Тейлор қатары деп аталады. Х₀=0 болғанда Тейлор қатарынан Маклорен қатары деп аталатын

қатарын аламыз. Егер f(x) функциясы х₀ нүктесінің кейбір маңайында дәрежелік қатарға жіктелсе, онда қатар f(x) функциясының Тейлор қатары болып табылады.

Теорема. Егер f(x) функциясының барлық ретті туындылары () интервалында шенделген болса, яғни тұрақты М саны табылып, барлық х () мәндері үшін теңсіздіктері орындалса, онда сол интервалда f(x) функциясы Тейлор қатарына жіктеледі.

 

 

№ 27

Ньютон-Лейбниц формуласы.

Жоғары шегі айнымалы болатын интегралдың туындысы туралы теорема интегралдың қосынды мен шекке көшусіз ақ анықталған интегралды есептеудің жеңіл жолын көрсетуге көмектеседі. Сондықтан, егер F(x)-f(x) функциясының бір алғашқы функциясы болса, онда I(x)=F(x)+C немесе (*) болады.

болғандықтан, (*) теңдікте х=а қойсақ, болады. Бұдан C=-F(a) болады. Олай болса, болады. Егер х=в болса, (**) болады. Бұл (**) формула Ньютон-Лейбниц формуласы деп аталады. Ол анықталған интегралды есептеу үшін қолданылады. F(b)-F(a) айырмасын белгілейміз. . Осы белгілеуді пайдаланып, Ньютон-Лейбниц формуласын былай жазуға болады. .