по теории вероятностей и математической статистике

Методическое указание

И контрольные задания

П о т е о р и и в е р о я т н о с т е й

И м а т е м а т и ч е с к о й с т а т и с т и к е

для студентов I – II курса

инженерно-технического и

сельскохозяйственного факультета

заочного отделения

Составители:

Ст.преп. Ходакова Л.Д.

Ст.преп. Косюк Н.В.

Тирасполь, 2007

СОДЕЖАНИЕ

Программа курса.
Правила выполнения и оформления контрольной работы.
Задания для контрольной работы.
Образец выполнения контрольной работы.
список вопросов сессионного контроля.
Литература.

ПРОГРАММА КУРСА

1. основные понятия теории вероятностей.

2. Комбинаторика (P_n, ).

3. Случайные события, их относительная частота и вероятность.

4. основные свойства вероятностей, правило сложения.

5. Вычисление вероятностей в классической модели.

6. Правило умножения вероятностей и условие вероятности.

7. Формула полной вероятности и формула Байеса.

8. Независимые случайные события.

9. Дискретные случайные величины.

10.Математическое ожидание дискретной случайной величины.

11. Биномиальное распределение.

12. Распределение Пуассона.

13. Непрерывные случайные величины. Плотность распределение вероятностей.

14. Примеры непрерывных распределений.

15. функции распределений вероятностей.

16. Одномерное нормальное распределение вероятностей.

17. Методы наименьших квадратов.

18. Основные понятия математической статистики.

19. Статистические совокупности.

20. Точечное и интервальное оценивание.

21. Основные статистические параметры выборки ( доверительный интервал для генеральной средней).

22. Критерии различия (t, F, G, g, ….)

23. Эмпирическое распределение (A, E, гистограмм).

24. Средние величины (среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое, среднее квадратическое, среднее кубическое, среднее арифметическое взвешенное).

25. Элементы теории корреляции.

Порядок оформления контрольной работы

по теории вероятностей и математической статистике

Контрольная работа должна быть выполнена в срок, указанный в учебном графике.
На титульном листе должны быть четко написаны Ф.И.О. студента, факультет, курс, группа, номер зачетной книжки, номер варианта.
Контрольную работу желательно выполнить в школьной тетради, оставляя поля для замечаний.
все задачи входящие в вариант, должны быть решены. Перед решением каждой задачи необходимо записать полный текст ее условия.
При получении не допущенной к защите работы, студент должен выполнить ее повторно, учесть все замечания и сдать на проверку вместе с не допущенной к защите работой.
Контрольная работа не проверяется, если студент решил не свой вариант.
Зачтенная работа в обязательном порядке предъявляется на экзамене.
Вариант определяется по последней цифре номера зачетной книжки. Если предпоследняя цифра нечетная (1, 3, 5, 7, 9), то номера задач определяются из первого раздела таблицы № 1 (1-10). Если предпоследняя цифра четная (2, 4, 6, 8), то номера определяются из второго раздела таблицы №1 (11-20).

Таблица № 1.

Вариант	Номера задач для контрольной работы

Задача №101

Игральная кость брошена три раза. Какова вероятность того, что при этом выпавшие грани различны?

Задача №102

На шести одинаковых карточках написаны буквы А, В, К, О, М, С. Эти карточки на удачу разложены в ряд. Какова вероятность того, что получится слова «МОСКВА»?

Задача № 103

В урне четыре белых и два черных шара. Из этой урны наудачу извлечены два шара. Какова вероятность того, что эти шары разного цвета?

Задача №104

В урне шесть белых и четыре черных шара. Из этой урны наудачу извлечены пять шаров. Какова вероятность того, что два из ни х белые, а три черные?

Задача №105

Какова вероятность того, что в написанном наудачу трехзначном числе все цифры различны?

Задача №106

В некоторый день недели во всех классах школы должно быть по шесть уроков. В этот день случайным образом ставятся в расписание три урока одного учителя и два урока другого. Какова вероятность того, что эти учителя не будут одновременно заняты?

Задача №107

В урне a белых и b черных шаров. Из этой урны наудачу извлечены два шара. Какова вероятность того, что эти шары одного цвета?

Задача № 108

Десять человек случайным образом рассаживаются на десятиместную скамейку. Какова вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом?

Задача №109

В урне десять шаров, из которых два белых и три черных и пять синих. Из этой урны наудачу извлечены три шара. Какова вероятность того, что все три шара разного цвета?

Задача №110

На десяти карточках написаны буквы А, А, А, М, М, Т, Т, Е, И, К. После тщательного перемешивания карточки раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слова «МАТЕМАТИКА».

Задача №111

Брошены три игральные кости. Какова вероятность того, что на всех костях выпадут четные числа.

Задача № 112

Цифры 1, 2, 3, 4, 5 написаны на карточках и тщательно перемешаны. Случайным образом эти карточки разложены в ряд. Какова вероятность того, что получится четное число?

Задача №113

На пятиместную скамейку садятся случайным образом пять человек. Какова вероятность того, что три определенных лица окажутся ядом?

Задача №114

В урне 10 шаров. Вероятность того, что два извлеченных шара окажутся белыми, равна 2/15. сколько в урне белых шаров?

Задача №115

В классе 40 учеников, из которых 10 отличников. Класс наудачу разделили на 2 равные части. Какова вероятность того, что в каждой части по 5 отличников?

Задача №116

В урне 5 белых и 5 черных шаров. Из этой урны последовательно извлечены все шары и разложены в ряд. Какова вероятность того, что цвета шаров чередуются?

Задача №117

Восемь различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом.

Задача №118

В ящике из 15 деталей имеется 10 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно 2 стандартные.

Задача №119

Имеется 2 урны, в первой «a» белых и «b» черных шаров, во второй «c» белых и «d» черных шаров. Из каждой урны извлекают по одному шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

Задача №120

Имеется 2 урны, в первой «a» белых и «b» черных шаров, во второй «c» белых и «d» черных шаров. Из каждой урны извлекают по одному шару. Найти вероятность того, что извлеченные шары разного цвета.

Задача №121

Два стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Известно, что вероятность попадания в мишень для одного из стрелков равна 0,6, а для другого 0,7. Найти вероятность того, что:

а) только один из стрелков попадет в мишень;

б) хотя бы один из стрелков попадет в мишень;

в) оба стрелка попадут в мишень;

г) хотя бы один из стрелков не попадет в мишень.

Задача №122

В двух урнах находятся шары, отличающиеся только цветом, причем в первой 5 белых, 11 черных и 8 красных, а во второй урне – 10 белых, 8 черных и 6 красных. Из обеих урн случайным образом извлекли по одному шару. Найти вероятность того, что оба шара одного цвета.

Задача №123

Сколько раз нужно бросить две игральные кости, чтобы с вероятностью не меньшей 0,5, можно было надеяться, что хотя бы один раз появится 12 очков?

Задача № 124

Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятность того, что студент ответит на два первых вопроса равны по 0,9; на третий – 0,8. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо:

а) ответить на все вопросу;

б) ответить хотя бы на два вопроса.

Задача № 125

Охотник выстрелил по удаляющейся цели три раза. Вероятность попадания в нее вначале стрельбы равна 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найти вероятность того, что он:

а) промахнется все три раза;

б) попадет два раза.

Задача №126

Какое из двух событий более вероятно: событие A – «при одновременном бросании четырех игральных костей появится хотя бы одна единица» или событие B – «при двадцати четырех бросаниях двух игральных костей появится хотя бы один раз две единицы»?

Задача №127

Ящик содержит 90 годных и 10дефектных деталей. Сборщик последовательно без возвращения достает из ящика 10 деталей. Найти вероятность того, что среди взятых деталей:

а) нет дефектных;

б) хотя бы одна дефектная.

Задача №128

Среди изготовляемых рабочим деталей в среднем 4 % брака. Какова вероятность того, что среди взятых на испытание пяти деталей не найдется ни один бракованный.

Задача №129

Студент успел подготовить к экзамену 20 вопросов из 25. Какова вероятность того, что из трех наудачу выбранных вопросов, студент знает не менее двух?

Задача №130

Игра проводится до выигрыша одним из двух игроков двух партий подряд (ничья исключается). Вероятность выигрыша партии из игроков равна 0,5 и не зависит от исходов предыдущих партий. Найти вероятность того, что игра окончится до шестой партии.

Задача №131

Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,2. Произведено 10 выстрелов. Найти вероятность поражения цели, если для этого достаточно хотя бы одного попадания.

Задача №132

Абонент забыл последнюю цифру телефона и поэтому набирает ее наудачу. Найти вероятность того, что ему придется сделать не более, чем две неудачные попытки.

Задача № 133

Среди облигаций займа половина выигрышных. Сколько облигаций надо взять, чтобы быть уверенным в выигрыше хотя бы на одну облигацию с вероятностью, больше 0,95?

Задача №134

Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех независимых выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания при одном выстреле.

Задача №135

Три исследователя независимо друг от друга, производят измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что первый, второй и третий исследователи допустят ошибку при считывании показаний приборов соответственно равны P₁ = 0,10,

P₂ =0,15, P₃ = 0,20. найти вероятность того, что при однократном измерении хотя бы один из исследователей допустит ошибку.

Задача №136

Детали проходят три операции обработки. Вероятность получения брака на первой операции равна 0,02; на второй – 0,03; на третьей – 0,02. Найти вероятность получения детали без брака после трех операций, предполагая, что получения брака на отдельных операциях являются независимыми событиями.

Задача №137

Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 1/7. Какова вероятность, купив, пять билетов, выиграть:

а) по всем пяти билетам;

б) ни по одному билету;

в) хотя бы по одному билету?

Задача №138

В ящике 10 деталей, среди которых 7 окрашенных. Сборщик наудачу достает 4 детали. Найти вероятность того, что все взятые детали окрашены.

Задача № 139

Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.

Задача №140

В урне два белых и четыре черных шара. Два игрока достают из урны поочередно по одному шару, не возвращая каждый раз извлеченный шар. Игра продолжается до появления белого шара. Определить вероятность того, что первым достанет белый шар игрок, начинающий игрок.

Задача №141

В студенческом строй отряде две бригады первокурсников и одна второкурсников. В каждой бригаде первокурсников пять юношей и три девушки, а в бригаде второкурсников четверо юношей и четверо девушек. По жеребьевке из отряда выбрали одну из бригад и из нее одного человека для поездки в город.

а) Какова вероятность того, что выбран юноша?

б) Выбранный человек оказался юношей. Какова вероятность того, что он первокурсник?

Задача №142

В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне содержится 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

Задача №143

В некоторой школе девочки составляют 60%. Успешно написали годовую контрольную 80% девочек и 75% мальчиков. В учительскую принесли утерянную кем-то контрольную работу. Какова вероятность того, что она принадлежала девочке? Мальчику?

Задача № 144

Бросается монета, и если она падает гербом вверх, то вынимаем один шар из первой урны; в противном случае – из второй урны. Первая урна содержит три красных и один белый шар. Вторая урна содержит один красный и три белых шара.

а) Какова вероятность того, что вынутый шар – красный?

б) Какова вероятность того, что шар вынимался из первой урны, если он оказался красным?

Задача № 145

На некоторой фабрике машина А производит 40% все продукции, а машина В – 60%. В среднем 9+n единиц из тысячи единиц продукции, произведенных на машине А оказывается браком, а у машины В – брак составляет 2+3n единицы из пятисот. Некоторая единица продукции, выбранная случайным образом из дневной продукции, оказалась браком. Какова вероятность того, что она произведена на машине В?

Задача №146

В группе из 20 стрелков имеются 4 отличных, 10 хороших и 6 посредственных стрелков. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для отличного стрелка равно 0,96; для хорошего стрелка эта вероятность равна 0,7; и для посредственного – 0,5. Найдите вероятность того, что:

а) наудачу выбранный стрелок попадет в цель;

б) два наудачу выбранных стрелка попадут в цель.

Задача №147

В каждой из трех урн по шесть черных и по четыре белых. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую, и после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, извлеченный из третьей урны, окажется белым.

Задача №148

С первого станка-автомата на сборку поступают 40%, со второго – 30%, с третьего – 20%, с четвертого – 105 деталей. Среди деталей, выпущенных первым станком, 2% бракованных, вторым – 1%, третьим – 0,5 и четвертым – 0,2%. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь не бракованная.

Задача №149

В трех урнах содержатся черные и белые шары. В первой два белых и три черных шара, во второй – два белых и два черных шара, в третьей – три белых и один черный шар. Из первой урны переложен шар во вторую, после чего из второй урны переложен в третью урну. Найти вероятность извлечения белого шара из третьей урны.

Задача №150

Из пяти стрелков два попадут в цель с вероятностью 0,6 и три – с вероятностью 0,4. а) Что вероятнее: попадет в цель наудачу выбранный стрелок или промахнется? б) Наудачу выбранный стрелок попал в цель. Что вероятнее: принадлежит он к первым двум или к трем последним?

Задача № 151

Известно, что 96% выпускаемых заводом изделий отвечает стандарту. Упращенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,98 и нестандартную с вероятностью 0,05. Определить вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, отвечает стандарту.

Задача №152

Брак в продукции завода вследствие дефекта А составляет 5%, причем среди забракованной по признаку А продукции 6% имеют дефект В, а продукции, свободной от дефекта А, дефект В составляет 2%. Найти вероятность наличия дефекта.

Задача №153

Имеются две урны. В первой три белых и четыре черных шара, во второй – два белых и три черных. Из первой наудачу перекладывают два шара во вторую, а затем из второй извлекают один шар. Какой состав переложенных шаров наиболее вероятен, если шар, извлеченный из второй урны, окажется белым?

Задача №154

Четыре стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятности попадания для данных стрелков равны: 0,4; 0,6; 0,7; 0,8. После стрельбы в мишени обнаружены три пробоины. Найти вероятность того, что промахнулся четвертый стрелок.

Задача №155

Из двадцати студентов, пришедших на экзамен, восемь подготовлены отлично, шесть – хорошо, четыре – посредственно и два – плохо. В экзаменационных билетах имеется 40 вопросов. Студент, подготовленный отлично, знает все вопросы, хорошо – 35, посредственно – 25 и плохо – 10 вопросов. Некоторый студент ответил на все три вопроса билета. Найти вероятность того, что он подготовлен: а) хорошо, б) плохо.

Задача №156

Из восемнадцати стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 – с вероятностью 0,7; 4 – с вероятностью 0,6 и два – с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок не попал в мишень. К какой группе вероятнее всего принадлежит этот стрелок?

Задача №157

Для сдачи экзамена студентам необходимо было подготовить 30 вопросов. Из 25 студентов, 10 подготовили все вопросы, 8 – 25 вопросов, 5 – 20 вопросов и 2 – 15 вопросов. Вызванный студент ответил на поставленный вопрос. Найти вероятность того, что это студент: а) подготовил все вопросы, б) подготовил только половину вопросов.

Задача № 158

Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по шоссе, как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1, для легковой машины эта вероятность равна 0,2.

К бензоколонке подъехала машина. Найти вероятность того, что это будет грузовая машина.

Задача №159

В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием К, 30% – с заболеванием М, 20% – с заболеванием N. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,7; для болезней М и N эти вероятности равны соответственно 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболевание К.

Задача №160

В первой урне находится один белый и девять черных шаров, а во второй – один черный и пять белых шаров. Из каждой урны случайным образом удалили по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью (свободную) урну. Найти вероятность того, что вынутый из третьей урны, окажется белым.

Задача № 161

В среднем левши составляют 1%. Какова вероятность того, что среди 200 студентов найдется А) ровно 4 левши; б) не мене, чем 4 левши.

Задача № 162

Кинотеатр вмещает 730 зрителей. Найдите вероятность того, что: а) три зрителя родились в один день (например, 5 апреля); б) не более трех зрителей родились в один день.

Задача №163

Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность повреждений каждого изделия в пути равно 0,0002. Найти вероятность того, что среди 5000 изделий в пути будет повреждено: а) ровно три изделия; б) ровно одно изделие; в) не более трех изделий; г) более трех изделий.

Задача №164

Учебник издан тиражом 10000 экземпляров. Вероятность того, что экземпляр учебника сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракованных книг.

Задача №165

Вероятность того, что на странице книги могут оказаться опечатки, равна 0,002. Проверяется книга, содержащая 500 страниц. Найти вероятность того, что с опечатками окажутся: а) 5 страниц; б) от 3 до 5 страниц.

Задача №166

Радиоаппаратура состоит из 1000 микроэлементов. Вероятность отказа каждого элемента в течении суток равна 0,0001 и не зависит от состояния других элементов. Найти вероятность отказа: а) двух элементов; б) не менее двух элементов за сутки.

Задача № 167

Независимо друг от друга работают 100 станков, причем вероятность бесперебойной работы каждого из них в течении смены равно 0,8. Найти вероятность того, что в течении смены бесперебойно работают: а) 85 станков; б) от 75 до 85 станков.

Задача №168

Вероятность производства бракованной детали равна 0,008. Найти вероятность наиболее вероятного числа бракованных деталей среди наудачу отобранных ста деталей.

Задача №169

Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно 2; б) менее двух; в) хотя бы одну.

Задача №170

Вероятность появления события А в каждом из 1500 независимых испытаний равна 0,4. Найти вероятность того, что число появлений события А заключено между 570 и 630.

Задача №171

Вероятность появления события А в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,9 можно было ожидать, что событие А появится не менее 75 раз?

Задача №172

В овощной магазин было отправлено 500 арбузов. Вероятность повреждения в пути арбуза равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено: а) ровно 3; б) менее трех; в) более трех; г) хотя бы один.

Задача №173

Было посажено 100 деревьев. Найти вероятность того, что число принявшихся деревьев: а) не менее 75 и не более 90; б) не менее 75; в) не более 74, если вероятность того, что отдельное дерево приживается, равна 0,8.

Задача №174

Вероятность появления события А в каждом из 1500 независимых испытаний равна 0,4. Найти вероятность того, что число появлений события А заключено между числами 600 и 660.

Задача № 175

Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течении минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течении одной минуты обрыв произойдет в 5 веретенах.

Задача № 176

Вероятность выхода из строя за время t одного конденсатора равна 0,2. Найти вероятность того, что за время t из 100 независимо работающих конденсаторов выйдут из строя а) не менее 20 конденсаторов; б) от 14 до 26 конденсаторов.

Задача № 177

Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится не менее 1470 и не более 1500 раз.

Задача №178

Вероятность того, что покупателю требуется обувь41 размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 100 покупателей потребуют обувь 41 размера: а) 25 человек; б) от 10 до 30 человек; в) не менее 35 человек.

Задача №179

Всхожесть семян оценивается вероятностью 0,85. Найти вероятность того,что из 500 высеянных семян взойдет: а) 425 семян; б) 450 семян; от 425 до 450 семян.

Задача №180

Вероятность рождения мальчика примем за 0,5. Найти вероятность того, что среди 200 новорожденных детей будет: а) 90 мальчиков; б) 110 мальчиков; в) от 90 до 110 мальчика.

В задачах №181 – 200 дает закон распределения P(x = x_i) вероятностей дискретной случайной величины x (таблица 2).

Требуется:

а) определить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение;

б) построить многоугольник распределения.

Таблица 2.

Номер задач	Значения x ₁ случайной величины X

	0,06	0,28	0,35	0,23	0,07	0,01
	0,03	0,16	0,31	0,31	0,16	0,03
	0,16	0,35	0,31	0,12	0,03	0,03
	0,01	0,06	0,24	0,34	0,26	0,09
	0,01	0,03	0,11	0,32	0,36	0,17
	0,48	0,25	0,14	0,07	0,04	0,02
	0,36	0,38	0,18	0,06	0,02	0,00
	0,23	0,33	0,25	0,12	0,04	0,03
	0,13	0,28	0,26	0,18	0,09	0,06
	0,28	0,35	0,22	0,10	0,04	0,01
	0,27	0,36	0,23	0,09	0,03	0,02
	0,49	0,24	0,06	0,15	0,05	0,01
	0,05	0,29	0,35	0,23	0,06	0,02
	0,04	0,15	0,32	0,30	0,16	0,03
	0,13	0,28	0,25	0,19	0,10	0,05
	0,01	0,03	0,10	0,33	0,37	0,16
	0,17	0,34	0,31	0,2	0,02	0,04
	0,07	0,27	0,34	0,24	0,07	0,01
	0,48	0,26	0,13	0,06	0,05	0,02
	0,24	0,32	0,25	0,12	0,03	0,04

В задан6ия 201 – 220 используется условие:

При изучение физико-математических свойств обувных кож было испытано n образцов и получены следующие значения предела прочности на разрыв X н/мм (Таблица 3).

Требуется:

а) определить выборочную среднюю, выборочную дисперсию, исправленную дисперсию;

б) полагая, что распределение величины x определяется нормальным законом, найти доверительный интервал для среднего предела прочности a этой кожи на уровне надежности γ (Таблица 4).

Таблица 3.



14,6	19,5	20,0	16,8	19,4	17,1	18,2	17,5	16,8	15,7	19,2	15,5
23,3	19,4	20,1	24,3	22,8	18,0	17,5	17,1	18,8	23,7
26,3	24,8	22,4	20,1	27,1	25,5	25,1	21,0	22,8	24,5	26,7
21,3	22,5	19,1	16,2	17,9	18,8	19,1	20,0	19,9	16,1	17,0	20,3
22,4	18,3	21,7	20,1	19,3	16,4	17,1	18,8	19,5	20,6
16,2	19,2	19,5	20,1	14,0	19,4	16,8	18,2	15,5	17,1	17,5	15,7
16,7	17,1	15,8	16,0	16,5	15,1	15,5	16,3	16,6	17,2	16,9
12,5	13,2	12,0	14,3	13,9	15,5	14,9	14,1	15,0	13,3
14,8	12,5	11,3	15,1	14,8	13,5	12,1	12,8	11,7	14,4	15,2	13,1
16,2	17,1	14,5	18,0	17,9	15,5	14,8	16,3	17,3	16,7	15,2
19,5	16,8	17,1	17,5	15,7	15,5	14,6	20,0	16,2	19,2	19,4	18,2
18,8	20,1	23,7	23,3	18,0	17,1	18,8	19,4	24,3	22,8
22,4	24,8	26,3	25,5	27,1	20,1	25,1	24,5	26,7	21,0	22,8
18,8	17,9	16,2	21,3	22,5	19,1	20,3	17,0	16,1	19,9	20,0	19,1
18,3	22,4	20,1	21,7	19,3	17,1	16,4	18,8	19,5	20,6
33,7	25,4	17,0	15,5	14,6	13,8	15,4	11,0	12,3	11,4
15,8	16,7	17,1	16,0	15,1	16,5	15,5	16,6	16,3	16,9	17,2
13,2	12,5	14,3	12,0	15,5	14,9	13,9	14,1	14,1	18,3
12,5	15,1	14,8	11,3	13,5	14,8	12,8	12,1	12,1	13,1	14,4	11,7
14,5	16,2	17,1	15,5	18,0	17,9	16,7	15,2	16,3	17,3	14,8

Таблица 4.

Номер задач
Значение величины γ	0,95	0,999	0,95	0,99	0,95	0,999	0,95	0,99	0,999	0,99

Номер задач
Значение величины γ	0,95	0,999	0,95	0,99	0,95	0,999	0,95	0,99	0,999	0,99

В задачах 221 – 240 используется условие:

Экономист, изучая зависимость выработки Y (тыс.руб.) на одного работника от величины товарооборота магазина X (тыс.руб.) на отчетный период обследовал 10 магазинов и получил следующие данные (Таблица 5). Полагая, что между признаками X и Y имеет место линейная корреляционная связь определить выборочное уравнение линейной регрессии и выборочный коэффициент линейной корреляции. Построить диаграмму рассеяния и линию регрессии. Сделать вывод о направлении и тесноте связи между X и Y. используя уравнение линейной регрессии, оценить x₀ = 90 тыс.руб.

Таблица 5.

	x
y	7,5	7,0	10,	3,5	7,0	6,0	6,0	4,0	8,5	10,0
	x
y	3,5	3,8	3,5	4,6	3,1	4,4	4,3	3,2	3,8	2,8
	x
y	4,6	2,6	4,3	2,4	3,1	3,8	4,2	2,9	2,7	3,4
	x										/85
y	3,6	4,4	3,1	4,0	4,3	3,7	3,8	5,7	5,0	4,2
	x
y	8,0	9,0	11,0	8,0	11,0	7,5	5,0	10,0	7,5	11,0
	x
y	14,5	4,5	5,0	3,0	4,5	5,5	7,0	4,0	4,0	6,0
	x
y	9,0	6,5	11,0	5,5	14,0	7,0	12,0	10,0	9,0	5,5
	x
y	9,5	13,0	10,0	12,0	8,0	13,0	8,0	14,0	6,5	11,0
	x
y	4,7	5,8	4,4	3,6	7,0	6,1	4,2	6,4	5,2	6,0
	x
y	3,0	3,2	2,1	3,0	3,2	2,1	4,1	3,3	2,4	2,6
	x
y	8,5	3,8	3,5	4,6	3,1	4,4	4,3	3,2	3,8	2,8
	x
y	9,0	6,5	11,0	5,5	14,0	7,0	12,0	10,0	9,0	5,5
	x
y	9,5	13,0	10,0	8,0	13,0	8,0	14,0	6,5	11,0	12,0
	x
y	5,5	5,5	6,0	4,0	5,5	6,5	8,0	5,0	5,0	7,0
	x
y	4,7	5,8	4,4	3,6	7,0	4,1	4,8	6,4	5,2	6,6
	x
y	3,2	3,0	2,1	3,0	3,2	2,1	4,1	3,3	2,4	2,6
	x
y	7,5	7,0	10,0	10,0	3,5	7,0	6,0	6,0	4,0	8,5
	x
y	1,6	2,6	1,3	2,1	3,1	3,8	1,2	2,9	2,7	3,1
	x
y	10,0	7,5	12,0	6,5	15,0	8,0	13,0	11,0	10,0	6,5
	x
y	3,6	4,4	3,1	4,0	4,3	3,7	3,8	5,7	5,0	4,2

В задачах 241 – 260 требуется:

а) составить закон распределения СВ X;

б) найти и построить функцию распределения СВ X.

Задание №241

В партии из 15 деталей 10 стандартных. Наудачу взяли три детали.

Требуется: а) составить закон распределения случайной величины, равной числу стандартных деталей среди отобранных; б) найти и построить функцию распределения случайной величины X.

Задача № 242

В ящике 4 изделия, из которых одно бракованное. Из ящика извлекают изделия одно за другим до тех пор, пока не будет вынуто бракованное изделие. Требуется: а) составить закон распределения случайной величины X, равной числу вынутых изделий; б) найти и построить функцию распределения случайной величины X.

Задача № 243

Набрасываются кольца на колышек либо до первого попадания, либо до полного израсходования всех колец, число которых равно 5. Требуется: а) составить закон распределения случайной величины, равной числу брошенных колец, если вероятность набрасывания кольца на колышек при каждом испытании постоянна и рана 0,9; б) найти и построить функцию распределения случайной величины.

Задача № 244

В коробке имеются 7 карандашей, из которых 4 карандаша красные. Наудачу извлекают 3 карандаша. Требуется: а) составить закон распределения случайной величины, равных числу извлеченных красных карандашей; б) найти и построить функцию распределения случайной величины.

Задача № 245

Монета подбрасывается 4 раза. Требуется: а) составить закон распределения случайной величины, равной числу появлений гербу; б) найти и построить функцию распределения случайной величины.

Задача № 246

Из 25 контрольных работ, из которых 5 оценены отлична. Наугад извлекают 3 работы. Требуется: а) составить закон распределения случайной величины, равной числу работ, оцененных на «отлично» и оказавшихся в выборке; б) найти и построить функцию распределения случайной величины.

Задача № 247

Три стрелка независимо друг от друга стреляют по одной цели. Вероятность попадания первого стрелка в цель равна 0,7, второго –0,8, третьего – 0,9. Требуется: а) составить закон распределения случайной величины, равной числу попаданий в цель; б) найти и построить функцию распределения случайной величины.

Задача № 248

Участник игры в лапту бьет по мячу 4 раза. Вероятность попадания в мяч лаптой при каждом ударе равна 0,7. Требуется: а) составить закон распределения случайной величины, равной числу попаданий в мяч; б) найти и построить функцию распределения случайной величины.

Задача № 249

В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны 3 детали.

Требуется: а) составить закон распределения случайной величины, равной числу нестандартных деталей среди отобранных; б) найти и построить функцию распределения случайной величины.

Задача № 250

Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле, равна 0,8. Стрелок стреляет до первого попадания или пока не закончатся патроны. Требуется: а) составить закон распределения случайной величины, равной числу промахов, если ему выдали 4 патрона; б) найти и построить функцию распределения случайной величины.

Задача № 251

Два стрелка стреляют по одной мишени, делая независимо друг от друга по 2 выстрела. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,5; для второго – 0,6. Требуется: а) составить закон распределения случайной величины, равной числу попаданий в мишень двумя стрелками; б) найти и построить функцию распределения случайной величины.

Задача № 252

В урне 9 шаров, из которых 6 белых. Наудачу взяли три шара. Требуется: а) составить закон распределения случайной величины, равной числу белых шаров среди отобранных; б) найти и построить функцию распределения случайной величины.

Задача № 253

В ящике 6 изделий, из которых одно бракованное. Из ящика извлекают изделия одно за другим до тех пор, пока не будет вынуто бракованное изделие. Требуется: а) составить закон распределения случайной величины, равной числу вынутых годных изделий; б) найти и построить функцию распределения случайной величины.

Задача № 254

На пути движения автомобиля 3 светофора. Каждый из них с вероятностью 0,5 либо разрешает, либо запрещает автомобилю дальнейшее движение. Требуется: а) составить закон распределения случайной величины, равной числу светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки; б) найти и построить функцию распределения случайной величины.

Задача № 255

В ящике 4 изделия, из которых одно бракованное. Из ящика извлекают изделия одно за другим до тех пор, пока не будет вынуто бракованное изделие. Требуется: а) составить закон распределения случайной величины, равной числу вынутых изделий; б) найти и построить функцию распределения случайной величины.

Задача № 256

В коробке 14 фруктов, среди которых 10 груш. Наудачу взяли три фрукта. Требуется: а) составить закон распределения случайной величины, равной числу груш среди трех отобранных; б) найти и построить функцию распределения случайной величины.

Задача № 257

В партии 30% бракованных деталей. Наудачу отобраны три детали. Требуется: а) составить закон распределения случайной величины, равной числу стандартных деталей среди отобранных; б) найти и построить функцию распределения случайной величины.

Задача № 258

Имеются 5 ключей, из которых только один подходит к замку. Требуется: а) составить закон распределения случайной величины, равной числу проб при открывании замка, если испробованный ключ в последующих опробованиях не участвует; б) найти и построить функцию распределения случайной величины.

Задача № 259

В корзине 12 фруктов, среди которых 8 яблок. Наудачу взяли три фрукта. Требуется: а) составить закон распределения случайной величины, равной числу яблок среди отобранных; б) найти и построить функцию распределения случайной величины.

Задача № 260

После ответа студента на вопросы экзаменационного билета экзаменатор задает студенту дополнительный вопрос. Преподаватель прекращает задавать вопросы, как только студент обнаруживает незнание заданного вопроса. Вероятность того, что студент ответит на любой заданный дополнительный вопрос, равна 0,9. Требуется: а) составить закон распределения случайной величины, равной числу дополнительных вопросов, которые задаст преподаватель студенту, если он может задать не более 4 вопросов; б) найти и построить функцию распределения случайной величины.

В заданиях 261 – 280 случайная величина X задана плотностью распределения f(x). Требуется найти: а) постоянную a; б) функцию распределения СВ X; в) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение; г) вероятность того, что СВ X примет значение из интервала [a; b].

261.

262.

263.

264.

265.

266.

267.

268.

269.

270.

271.

272.

273.

274.

275.

276.

277. , 4, 7,5.

278. , 0, 1,5.

279. , 1, 1,5.

280. , 0, 1,5.

ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ.

Задание 1.

В механизм входят 3 одинаковые детали. Механизм не будет работать, если будут поставлены 2 или 3 детали уменьшенного размера. У сборщика всего 10 деталей, из которых 3 меньше стандарта. Найти вероятность того, что механизм будет работать нормально, если сборщик возьмет наудачу 3 детали.

Решение.

Пусть событие А ={механизм работает нормально}, . Для появления события А по условию необходимо, чтобы либо все 3 детали были стандартного размера, либо только одна их них нестандартна.

Три стандартные детали можно выбрать способами.

Одну нестандартную и две стандартных - способами.

Следовательно, число благоприятствующих исходов для события А будет равно .

Ответ: вероятность того, что механизм будет работать нормально, если сборщик возьмет наудачу 3 детали равна 0,8167.

Задание 2.

Дана электрическая цепь II

III

Каждый элемент этой цепи работает независимо от других. На протяжении промежутка времени t I- элемент выходит из строя с вероятностью 0,2; II – с вероятностью 0,3; III – с вероятностью 0,25. Найти вероятность того, что цепь не выйдет из строя на протяжении рассмотренного интервала времени.

Решение.

Обозначим через А_i – событие «i -тый элемент не выходит из строя на протяжении рассматриваемого интервала времени».

Тогда

Если А – событие «цепь выходит из строя на протяжении рассмотренного интервала времени», то .

Так как А₁ не зависит от А₂ и А₃, то . Но

Окончательно получаем: Р(А)= 0,8*0,925=0,740.

Ответ: вероятность, что цепь не выйдет из строя на протяжении рассмотренного интервала времени равна 0,74.

Задание 3.

Партия приборов состоит из приборов рижского и московского заводов. В партии 70% приборов рижского завода. Для прибора московского завода надежность (то есть вероятность безотказной работы) в течение времени t) равна 0,95, рижского – 0,92. Прибор испытывался в течение времени и работал безотказно. Найти вероятность того, что испытывался прибор московского завода.

Решение.

Обозначим через В₁ гипотезу «на испытание попал прибор рижского завода», Р(В₂)= 0,7.

Пусть А – событие «случайно отобранный прибор проработает безотказно в течение времени t».

По условию задачи Р(А)= 0,3*0,95+0,7*0,92=0,929.

Вероятность того, что безотказно проработавший в течение времени прибор сделан на московском заводе, можно вычислить по формуле Байеса:

Ответ: вероятность того, что испытывался прибор московского завода равна 0,307.

Задание