Криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля.

КЛЮЧЕВЫЕ ВОПРОСЫ

(определения и формулировки теорем)

Экзамена по математическому анализу на дневном отделении факультета ВМК

(специальность «Прикладная математика и информатика»)

 

III семестр

 

Дифференциальное исчисление в евклидовом пространстве

 

1. Частные производные.

2. Дифференцируемая функция.

3. Необходимое условие дифференцируемости.

4. Полный дифференциал функции в точке.

5. Частные производные сложной функции.

6. Теорема о дифференцируемости сложной функции.

7. Формула конечных приращений для функции многих переменных.

8. Производная функции по направлению.

9. Градиент функции.

10. Инвариантность формы дифференциала первого порядка.

11. Частные производные высших порядков.

12. Условие равенства смешанных производных функции двух переменных по х и по у.

13. Теорема о перестановке порядка дифференцирования при вычислении частных производных функции многих переменных.

14. Дифференциалы высших порядков для функций многих переменных.

15. Дифференциалы сложной функции.

16. Локальный экстремум функции многих переменных.

17. Условный экстремум функции:

 

Интегралы, зависящие от параметра.

1. Србственные и несобственные интегралы, зависящие от параметра

2. Формула дифференцирования собственных интегралов, зависящих от параметра, с пределами интегрирования, зависящими от параметра.

3. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра, с особенностью в бесконечности.

4. Признак Вейерштрасса сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра, с особенностью в бесконечности.

5. Условия непрерывности, интегралов, зависящих от параметра, с особенностью в бесконечности.

6. Условия дифференцируемости интегралов, зависящих от параметра, с особенностью в бесконечности.

7. Условия интегрируемости интегралов, зависящих от параметра, с особенностью в бесконечности.

8. Несобственное интегрирование интегралов, зависящих от параметра, с особенностью в бесконечности.

9. Несобственные интегралы, зависящие от параметра, с особенностью в конечной точке

10. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра, с особенностью в конечной точке.

11. Условия непрерывности интегралов, зависящих от параметра, с особенностью в конечной точке.

12. Условия дифференцируемости интегралов, зависящих от параметра, с особенностью в конечной точке.

13. Условия интегрируемости интегралов, зависящих от параметра, с особенностью в конечной точке.

14. Бета-функция.

15. Гамма-функция.

16. Связь бета- и гамма-функций.

 

Интегральное исчисление функций многих переменных.

 

1. Элементарные множества.

2. Первый критерий измеримости множеств.

3. Второй критерий измеримости множества.

4. Замкнутость класса измеримых множеств.

5. Аддитивность меры Жордана.

6. Кратный интеграл Римана – первое определение

7. Кратный интеграл Римана – второе определение

8. Условие ограниченности интегрируемой функции.

9. Основная теорема интегрального исчисления.

10. Следствие основной теоремы (теорема 2).

11. Следствие основной теоремы (теорема 3).

12. Теорема об интегрируемости функции на объединении множеств.

13. Следствие и замечание к теореме об интегрируемости функции на объединении множеств.

14. Интегрируемость суммы функций,

15. Интегрируемость произведения функций

16. Интегрируемость отношения функций функций

17. Интегрируемость модуля функции.

18. Теоремы сравнения для интегралов от функций.

19. Теорема о среднем.

20. Вычисление кратного интеграла с помощью интегрирования по отдельным переменным.

21. Замена переменных в кратном интеграле.

22. Двойной интеграл в полярных координатах.

23. Тройной интеграл в сферических координатах.

24. Площадь поверхности.

 

Криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля.

1. Кривая в трехмерном пространстве.

2. Длина дуги кривой, заданной параметрически.

3. Криволинейный интеграл 1-го рода

4. Основные свойства криволинейного интеграла 1-го рода.

5. Криволинейный интеграл 2-го рода.

6. Свойства криволинейного интеграла 2-го рода

7. Формула Грина.

8. Поверхность в трехмерном пространстве.

9. Поверхностный интеграл 1-го рода

10. Свойства поверхностного интеграла 1-го рода

11. Ориентация поверхностей.

12. Поверхностный интеграл 2-го рода

13. Свойства поверхностного интеграла 2-го рода.

14. Формула Гаусса-Остроградского.

15. Формула Стокса.

16. Производная векторного поля по направлению.

17. Градиент скалярного поля.

18. Дивергенция векторного поля.

19. Ротор векторного поля.

20. Оператор Гамильтона.

21. Потенциальное поле.