Способ задания вектора его координатами. Разложение вектора по базису.
Вектор может быть задан:
1. Координатами вектора α=(ax;ay;az)
2. Координатами начальной А(x1;y1;z1) и конечной B(x2;y2;z2) точек.
Базис векторного пространства – это упорядоченная совокупность линейно независимых векторов этого пространства, число которых равно размерности пространства.
Теорема. Любой вектор n -мерного векторного пространства единственным образом раскладывается по базису.
 |
Базисом пространства называют такую систему векторов в которой все остальные векторы пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов, входящих в базис.
На практике это все реализуется достаточно просто. Базис, как правило, проверяют на плоскости или в пространстве, а для этого нужно найти определитель матрицы второго, третьего порядка составленный из координат векторов. Ниже схематически записаны условия, при которых векторы образуют базис
Чтобы разложить вектор b по базисным векторам
e[1],e[2]...,e[n] необходимо найти коэффициенты x[1],..., x[n] при которых линейная комбинация векторов e[1],e[2]...,e[n] равна вектору b:
x1*e[1]+... + x[n]*e[n] = b.
Для этого векторное уравнение следует преобразовать к системе линейных уравнений и найти решения. Это также достаточно просто реализовать.
Найденные коэффициенты x[1],..., x[n] называются координатами вектора b в базисе e[1],e[2]...,e[n].
Перейдем к практической стороне темы.
Скалярное произведение двух векторов заданных их модулями и направлениями.
Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению модулей векторов и на косинус угла между ними.
Скалярное произведение векторов и обозначают или
Скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного из векторов на проекцию второго вектора на направление первого.
Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю один из сомножителей или векторы перпендикулярны
Скалярное произведение двух векторов заданных их координатами.
Координатный вид скалярного произведения векторов
a * b=ax*bx+ay*by+az*bz
Свойства скалярного произведения и его приложения.
Св-ва:
1. a*b=b*a
2. (a+b)*c=a*c+b*c
3. (k*a)*b=k(a*b)
4. Условие ортогональности 2-ух векторов а⊥b ⇔ a*b=0
5. Условие коллинеарности двух векторов в координатной форме а ∥ b⇔ ax/bx=ay/by=az/bz
Необходимое и достаточное условие ортогональности двух векторов.
Ортогональность двух векторов-это ничто иное как их перпендикулярность
Условие ортогональности двух векторов:
Т. о., для того чтобы два вектора были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы сумма произведений соответствующих координат этих векторов была равна нулю.
