Матрица ПФЭ в общем виде
В общем виде матрица полного факторного эксперимента с n факторами имеет вид
Свойства матрицы ПФЭ
Число строк в матрице равно 2 n;
Нулевой столбец матрицы состоит из единиц.
В столбцах 1… n находятся все возможные 2 n сочетаний значений −1 и +1;
В последнем столбце находятся результаты измерений, полученные при значениях факторов, записанных в соответствующих строках в столбцах 1… n.
Сумма элементов нулевого столбца всегда равна 2 n
Сумма элементов любого столбца, кроме нулевого и последнего, равна нулю
Вычисление коэффициентов линейной модели
Коэффициенты линейной модели в нормированных координатах вычисляются по формулам:
Коэффициенты линейной модели в естественных (ненормированных) координатах вычисляются по формулам:
Преобразование естественных факторов в нормированные и обратно
Пример планирования двухфакторного эксперимента
Матрица эксперимента
Предположим, исходные параметры технологического процесса составляют: толщина плёнки 55 мкм, время экспозиции — 30 с, то есть
Возьмём верхние и нижние значения обоих факторов так, чтобы они располагались симметрично относительно текущего значения, например
Составим таблицу, в которой значения обоих факторов находятся во всех возможных сочетаниях и проведём измерения в этих точках (значения отклика даны условно):
Полагая, что линейная модель процесса имеет вид
на основании полученных результатов можно составить систему четырёх уравнений с двумя переменными. Ниже показана эта система, а также её сокращённая запись в виде матрицы. Матрицу данного вида назовём матрицей эксперимента.
В матрице эксперимента второй и третий столбцы представляют собой значения факторов, четвёртый столбец — значения отклика системы, а первый столбец содержит единицы, соответствующие единичным коэффициентам свободного члена модели a0 Будем считать этот столбец некоторым виртуальным фактором х0, который всегда принимает единичные значения.
Чтобы облегчить решение системы, проведём нормировку факторов. Верхним значениям факторов присвоим нормированное значение +1, нижним значениям — нормированное значение −1, среднему значению — нормированное значение 0. В общем виде нормировка фактора выражается формулой
С учётом нормировки факторов система уравнений и матрица эксперимента примут следующий вид:
Поскольку сумма членов во втором и третьем столбце матрицы равны нулю, свободный член модели можно найти, сложив все четыре уравнения:
Чтобы найти какой-либо другой коэффициент модели, нужно изменить знаки в уравнениях таким образом, чтобы в соответствующем столбце оказались одни единицы, после чего сложить все четыре уравнения:
Таким образом, линейная модель технологического процесса в окрестностях точки (55, 30) имеет вид
В общем случае решение системы будет выглядеть как
Возврат к ненормированным факторам
Переход от нормированных к ненормированным факторам осуществляется обратным преобразованием
Чтобы найти параметры модели для ненормированных координат, подставим выражения для нормированных координат в уравнение модели
Сравнивая последнее выражение с выражением для линейной модели в ненормированных координатах
получим выражения для параметров модели:
В общем случае
Для приведённого выше примера
Окончательно получаем модель в естественных координатах:
