Проектирование сети триангуляции

При проектировании сетей триангуляции должны соблюдаться требования, приведенные в табл.1

Таблица 1

Показатель	Класс
Средняя длина стороны треугольника, км	20-25	7-20	5-8	2-5
Относительная ошибка базисной выходной стороны	1:400000	1:300000	1:200000	1:100000
Примерная относительная ошибка стороны в слабом месте	1:150000	1:200000	1:120000	1:70000
Наименьшее значение угла треугольника, градус	40	20	20	20
Допустимая невязка треугольника, угл. с	3	4	6	6
Средняя квадртическая ошибка угла по невязкам треугольника, угл. с	0,7	1	1,5	2,0
Средняя квадратическая ошибка взаимного положения смежных пунктов, м	0,15	0,06	0,06	0,06

 

3.1. Расчет количества знаков

При проектировании сети триангуляции 3 и 4 классов необходимо рассчитать количество пунктов отдельного класса.

Требуемая плотность геодезических пунктов при общегосударственном картографировании территории страны зависит от масштаба топографической съемки, методов ее выполнения, а также от методов создания съемочного геодезического обоснования.

 

 

Таблица 2

Масштаб топографической съемки	Площадь съемочной трапеции, км2	Площадь Р на один пункт, км'	Расстояние между пунктами, км
1: 25 000 1: 10 000 1: 5 000 1: 2 000	75 18 4,5 1,1	50—60 50—60 20—30 5—15	7—8 7—8 4—5 2—4

Между длинами сторон треугольников разных классов должны соблюдаться следующие приближенные соотношения:

s₁₌s₁ s₂=0,58s₁ s₃=0,33s₁ s₄=0,19s₁ . (1)

Если за исходную принять длину стороны в триангуляции 1 класса, равную в среднем S₁ = 23 км, то по формулам (1) получим следующие длины сторон треугольников в сетях триангуляции 2—4 классов (табл. 3).

Таблица 3

Класс триангуляции	Длина s стороны треугольника, км	Площадь Р на один пункт, км2
2 3 4	13,3 7,6 4,4	138,9 45,4 15,2

В реальных сетях триангуляции треугольники несколько отступают от равносторонней формы. Однако в среднем для обширной по размерам геодезической сети соотношения (1) длин сторон треугольников должны более или менее точно соблюдаться, в противном случае общее число пунктов в сети может оказаться неоправданно завышенным. Среднее число пунктов разных классов на любой площади Р картографируемой территории можно рассчитать по формулам

 

; (2)

, (3)

где - площадь, обслуживаемая одним пунктом -го класса (i =1,2,3,4).Результаты вычислений следует округлять до целого десятка. В качестве примера по этим формулам определим число пунктов 3—4 классов на площади Р = 200 км² при n₁ = 0, n₂=2.

Для триангуляции 3 класса:

.

Для триангуляции 4 класса:

.

Следовательно, на площади снимаемой территории Р=200 км² должны запроектировать 11 пунктов, то есть 2 пункта 2 класса, 2 пункта 3 класса и 7 пунктов 4 класса.

3.2. Построение триангуляционной сети

При разработке графического проекта сети особое внимание следует обращать на выбор местоположения каждого отдельного пункта. Все пункты государственной геодезической сети должны быть расположены на командных вершинах местности. Это необходимо для того, чтобы, во-первых, обеспечить взаимную видимость между смежными пунктами при минимальных высотах геодезических знаков, во-вторых, возможность развития в будущем сети в любом направлении. Длины сторон между смежными пунктами должны соответствовать требованиям инструкции. Во всех случаях геодезические пункты должны находиться в таких местах, где будет обеспечена сохранность их положения в плане и по высоте в течение длительного времени. Поскольку на постройку геодезических знаков расходуется в среднем 50—60 % всех затрат на создание сети, необходимо уделять самое серьезное внимание выбору мест для установки пунктов на местности с целью снижения их высоты.

При проектировании сетей триангуляции разных классов важное значение имеет обеспечение надежной привязки сетей более низкого класса к сетям более высокого класса.

Рис. 1. Схемы привязки геодезических сетей к сторонам (а) и пунктам (б) триангуляции высшего класса

Рекомендуются следующие схемы построения сетей триангуляции 3—4 классов (рис.2).

Рис.2. Схемы построения сетей триангуляции

После того как все пункты будут нанесены на карту, их соединяют прямыми линиями. На отдельном листе вычерчивают схему запроектированной сети, на которую выносят названия пунктов, длины сторон в километрах, значения углов в треугольниках с точностью до градуса, высоты земной поверхности с точностью до метра. Углы измеряют транспортиром по топографической карте. Суммы углов в треугольниках должны равняться 180º, а в полюсе центральной системы 360º. Длины сторон измеряются линейкой. Под схемой приводятся условные обозначения исходных сторон, сторон триангуляции и пунктов сети.

3.3. Расчет высот знаков

На пунктах геодезической сети строят геодезические знаки такой высоты, чтобы визирные лучи при угловых и линейных измерениях проходили по каждому направлению на заданной минимальной высоте над препятствием, не касаясь его. Сначала определяют приближенные высоты знаков l ₁^’ и l ₂^’ для каждой пары смежных пунктов, а затем корректируют их и находят окончательные значения высот l ₁ и l ₂. Приближенные высоты знаков l ₁^’ и l ₂^’ (рис.3) вычисляют по формулам

(4)

где h₁ и h₂ — превышения вершины препятствия в точке С (c учетом высоты леса) над основаниями первого и второго знаков соответственно; а- установленная действующей инструкцией допустимая высота происхождения визирного луча над препятствием; u ₁ и u₂ — поправки за кривизну Земли и рефракцию.

Знаки при h₁ и h₂ определяют по знакам разностей

h₁ = H_c—H₁,

h₂ = H_c—H₂, (5)

где Н_с — высота вершины препятствия в точке С; Н₁ и Н₂ — высота земной поверхности в местах установки первого и второго знаков.

Рис.3. Схема определения высоты геодезических знаков

Поправки v за кривизну Земли и рефракцию вычисляют по формуле

, (6)

где k — коэффициент земной рефракции; R— радиус Земли; s— расстояние от препятствия до соответствующего пункта. При k = 0,13 и R=6371 км формула (6) примет вид

V=0,068s², (7)

где v получают в метрах, a s выражено в километрах.

В том случае, если превышения h₁ и h₂ имеют один и тот же знак, а расстояния s₁ и s₂ существенно разные, высоты знаков l ’₁ и l ’₂, вычисленные по формулам (4), будут значительно отличаться друг от друга: один знак низкий, а другой чрезмерно высокий (рис.4). Высокие знаки строить экономически невыгодно. Поэтому высоты знаков, вычисленные по формулам (4), необходимо откорректировать так, чтобы сумма квадратов окончательных высот знаков l ₁и l ₂ была наименьшей, т. е. = min. При соблюдении данного требования расходы на постройку данной пары знаков будут, как правило, наименьшими, поскольку стоимость постройки каждого знака при прочих равных условиях почти пропорциональна квадрату его высоты.

Откорректированные высоты каждой пары знаков на концах стороны при соблюдении условия = min и выполнении требования о прохождении визирного луча на заданной высоте а над препятствием вычисляются по формулам

(8)

Рис.4. Схема корректирования высоты геодезического знака

На пункте с n направлениями будет получено n значений высоты знака, так как вычисления по каждой отдельной стороне (направлению) дадут разные значения высоты знака на данном пункте. За окончательную высоту принимают ту, при которой обеспечивается видимость по всем направлениям при минимальной (допустимой) высоте прохождения визирных лучей над препятствиями. Результаты расчетов высот геодезических знаков представить в таблице 4.

Таблица 4

Название точек	Расстояния s1 и s2	Высоты Н,м	Превышения h1 и h2	v, м	а,м	Приближенные высоты l1’ и l2’	Откорректи-рованные высоты	Стандартные высоты знаков
Лискино	2,4	137,5	3,5	0,4	1,0	4,9	6,2
С		141,0
Попово	5,2	138,2	2,8	1,8	1,0	5,6	2,8

Для наиболее сложных сторон построить профили, на которых кроме поверхности земли красной линией показать открывшуюся видимость после установки геодезического знака.

3.4. Предрасчет точности элементов сети триангуляции

Для уверенного использования окончательного варианта проекта геодезической сети необходимо иметь надежные численные характеристики слабых ее элементов. На составленной схеме находим слабые стороны сети. Слабая сторона находится по принципу равно удаленности ее от исходной стороны.

В качестве критерия точности принимается средняя квадратическая ошибка измеренных величин

(9)

где µ - средняя квадратическая ошибка единицы веса;

Р_F – вес рассматриваемой функции.

За ошибку единицы веса принимается ошибка измеренных величин. Так как сеть еще проектируется, углы и длины, участвующие в предрасчете, определяются по топографической карте.

Средняя квадратическая ошибка слабой стороны n-треугольника, входящего в центральную систему или геодезический четырехугольник, определяется по формуле

(10)

где m_lgb - средняя квадратическая ошибка логарифма исходной стороны;

m_β - средняя квадратическая ошибка измерения угла в рассматриваемом классе триангуляции;

R_i– ошибка геометрической связи трегольника.

Средняя квадратическая ошибка слабой стороны n-треугольника, являющегося элементом простой цепи треугольников определяется по формуле

(11)

Вычисление ошибки геометрической связи выполняется по формуле:

R_i=δ²_Аi+ δ²_Вi+ δ_Аi* δ_Вi, (12)

где А_i и B_i – связующие углы в треугольниках;

δ_Аi, δ_Вi - приращения логарифмов синусов углов А и В при изменении углов на 1" в единицах 6-го знака логарифма. Значение δ можно определить по формуле

δ_Аi=МctgA_i(1¤ρ")10⁶=2,11ctgA_i. (13)

При предрасчете точности слабой стороны по средним квадратическим ошибкам, полученным по двум ходам, вычисляется среднее весовое значение по формуле:

(14)

где m_lgS1 и m_lgS2 средние квадратические ошибки определения от базиса по 1 и 2 ходам.

Относительную ошибку найдем по формуле

. (15)

Пример. Запроектированная сеть триангуляции 3 класса состоит из центральной системы (рис.5). Слабой является сторона «Кленово-Завихрастово», выполним предрасчет ее точности, результаты вычисления ошибки геометрической связи по первому и второму ходу представим в таблице 5.

Рис.5.Фрагмент сети

Таблица 5

Ход 1				Ход 2
№	А	В	Ri	№	А	В	Ri
			5,44				5,05
			5,62				5,40
			6,28				4,81
		Сумма	17,34			Сумма	15,25

m_lgS1 =5,11; m_lgS2=4,86; m_Sn(ср)=3,52;

Вывод: Полученная относительная ошибка слабой стороны удовлетворяет требованиям инструкции для сети триангуляции 3 класса.

Предрасчет точности в триангуляции 4 класса выполняется аналогичным способом.

 

3.5. Расчет качества сети строгим способом

Расчет качества сети строгим способом произведем на примере сети, изображенной на рис.6. Для этой сети имеем имеем 9 независимых условных уравнений: 7 уравнений фигур, 1 условие горизонта, 1 полюсное условное уравнение. Исходные данные приведены в табл. 6

 

Таблица 6

Название пункта	№ угла	Угол, º	δ	Название пункта	№ угла	Угол, º	δ
A			0.68	F			1.08
		1.71	J			1.17
B			0.73			1.37
		1.27			1.65
C			1.37	O			0.60
		0.60			1.12
D			1.59			1.97
		1.71			1.32
E			1.59			1.03
		1.17			1.48
		0.98

 

Рис.6. Сеть триангуляции 3 класса

 

 

Условные уравнения фигур:

(1) + (2) + (3) + W1 = 0

(4) + (5) + (6) + W2 = 0

(7) + (8) + (9) + W3 = 0

(10) + (11) + (12) + W4 = 0

(13) + (14) + (15) + W5 = 0

(16) + (17) + (18) + W6 = 0

(19) + (20) + (21) + W7 = 0

Условные уравнения горизонта

(1) + (5) + (8) + (11) + (14) + (17)+ W8 = 0

Полюсные условные уравнения.

После логарифмирования, приведя к линейному виду, будем иметь

δ₂(2)-δ₃(3)+δ₄(4)-δ₆(6)+δ₇(7)-δ₉(9)+δ₁₀(10)-δ₁₂(12)+δ₁₃(13)-δ₁₅(15)+δ₁₆(16)-δ₁₈(18)+W9=0

Для составления весовой функции определяем слабую сторону по известному базису.

На основании полученной системы уравнений составим таблицу коэффициентов условных уравнений и весовой функции (табл. 7). Значения δ_n вычислены по формуле δ=2,11ctgβ.

 

 

Таблица 7

Коэффициенты условных уравнений

№ п/п	a	b	c	d	e	g	h	i	k	f	s
	+1							+1		-0.60	+1.40
	+1								+1.59	+1.59	+4.18
	+1								-1.59		-0.59
		+1							+1.37		+2.37
		+1						+1			+2.00
		+1							-1.17		-0.17
									+0.68
			+1						+0.68		+1.68
			+1					+1			+2.00
			+1						-1.17		-0.17
									0.7
				+1					+0.73		+1.73
				+1				+1		+1.32	+3.32
				+1					-1.71	-1.71	-2.42
					+1				+1.37	+1.37	+3.74
					+1			+1			+2.00
					+1				-1.27	-1.27	-1.54
						+1			+1.71	+1.71	+4.42
						+1		+1			+2.00
						+1			-0.60	-0.60	-0.20
											+1.00
							+1				+1.00
							+1				+1.00
							+1				+1.00
Σ									-0.06	1.81	28.75

 

Так как мы имеем большое число условных уравнений, наиболее целесообразно вычислять обратный вес функции методом двухгруппового уравнивания. Обратный вес вычисляется по формуле

, (16)

где f – коэффициенты заданной функции, для которой находят среднюю квадратическую ошибку; a, b, … - коэффициенты первичного, вторичного и т.д. преобразованных уравнений второй группы; [f₁], [f₂], … - суммы коэффициентов заданной функции по тем поправкам первого, второго и т.д. уравнений фигур первой группы, которые входят в выражение функции;

n_1, n₂ , … - число поправок, входящих соответственно в первые, вторые и т.д. уравнения фигур первой группы.

При разделении уравнений на две группы в первую группу включают все уравнения фигур (для нашей сети, т.к. нет перекрывающихся треугольников). Во вторую группу войдут все остальные уравнения и весовая функция, т.е. уравнение горизонта, полюса и уравнение функции.

Таблица 8

Коэффициенты условных уравнений первой группы

 

№ п/п	a	b	c	d	e	g	h	f
								-0.60
								1.59
							[1f]=0.99
							[2f]=0
							[3f]=0
								1.32
								-1.71
							[4f]=-0.39
								1.37
								-1.27
							[5f]=0.10
								1.71
								-0.60
							[6f]=1.11
							[7f]=0

 

I=[f₁]²/n₁ + …+ [f₇]⁷/n₇ = 0,33+0,05+0,003+0,41=0,79

Преобразованные коэффициенты вычисляются по формуле

А=а-[а]/n; В=b-[b]/n,

где А, В – преобразованные коэффициенты; n – число углов, входящих в треугольник; [а]/n – среднее значение непреобразованных коэффициентов в треугольнике; [а] – сумма непреобразованных коэффициентов в треугольнике.

 

Таблица 9

Таблица преобразованных уравнений второй группы и определение коэффициентов нормальных уравнений

 

N поправки	i	k	I	K	f	s
			0,67		-0,60	0,07
		1,59	-0,33	1,59	1,59	2,85
		-1,59	-0,34	-1,59		-1,93
	0,33
		1,37	-0,33	1,30		0,97
			0,67	-0,06		0,61
		-1,17	-0,34	-1,24		-1,58
	0,33	0,07
		0,68	-0,33	,84		0,51
			0,67	0,17		0,84
		-1,17	-0,34	-1,01		-1,35
	0,33	-0,16
		0,73	-0,33	1,06		0,73
			0,67	0,32	1,32	2,31
		-1,71	-0,34	-1,38	-1,71	-3,43
	0,33	-0,33
		1,37	-0,33	1,34	1,37	2,38
			0,67	-0,04		0,63
		-1,27	-0,34	-1,30	-1,27	-2,91
	0,33	0,03
		1,71	-0,33	1,34	1,71	2,72
			0,67	-0,37		0,30
		-0,60	-0,34	-0,97	-0,60	-1,91
	0,33	0,37
		[I	4,04	0,09	0,16	4,29
		[K		19,53	11,67	31,30
		[f			14,33	26,16

 

Решение нормальных уравнений выполнено в таблице 10.

 

 

Таблица 10

K1	K2	f	s
4,04	0,09	0,16	4,29
-1	-0,0223	-0,0396	-1,0619
	19,53	11,67	31,30
	-0,002	-0,004	-0,096
	19,528	11,666	31,204
	-1	-0,5974	-1,5979
		14,33	26,16
		-0,006	-0,170
		-6,969	-18,641
	II=	7,36	7,35

Обратный вес функции:

 

Относительная ошибка: ;

Вывод: Выходная сторона запроектированной сети триангуляции 3 класса по точности удовлетворяет требованиям инструкции.

Если выходная сторона триангуляции 3 класса по точности не удовлетворяет требованиям инструкции, то на ее месте запроектировать базис с относительной ошибкой 1/200000. После этого найти слабую сторону в сети уже с учетом запроектированного базиса и выполнить предрасчет точности.

4. Техническая характеристика запроектированной сети

Убедившись, что запроектированная сеть удовлетворяет требованиям инструкции, дать ее характеристику, где нужно указать:

─ число пунктов по классам;

─ максимальную, минимальную и среднюю длины сторон;

─ минимальный и максимальный углы в треугольниках;

─ относительные ошибки в слабых местах;

─ максимальную и минимальную высоты знаков;

─ максимальную и минимальную отметки поверхности земли на пунктах.

Если в сети присутствуют длины линий или углы, не удовлетворяющие инструкции, указать причину. После этого составить каталог запроектированных геодезических пунктов (табл.11)

 

 

Таблица 11

Каталог запроектированных пунктов

 

№ п/п	Название пунктов	Класс пунктов	Отметки пунктов	Высота знака
	Тихое		141,5
	Попово		146,1
	Степанцево		139,3

5. Знаки и центры геодезических пунктов

В геодезических сетях используют знаки разных конструкций. Выбор типа знака зависит от высоты, на которую необходимо поднять прибор над землей. Исходя из полученных в результате расчетов высот знаков, даным рекомендациям по выбору типа центра описать их конструкции и привести схемы, описать основные требования, предъявляемые к ним.

6. Рекогносцировка геодезических пунктов

Проект сети, составленный в камеральных условиях, нуждается в проверке и уточнении на местности. Для этого выполняют рекогносцировку. Основными ее задачами являются: выбор конкретных мест установки геодезических пунктов, окончательный расчет высот знаков, уточнение общей сметы расходов. Различают два вида ведения рекогносцировки: визуальный и инструментальный.

В данной главе курсового проекта необходимо описать методы и задачи рекогносцировки пунктов и сделать описание подъезда от базы партии к одному из них. Кроме того, вычертить кроки на кальке размером 5×5 см, показав на нем всю ситуацию, окружающую пункт.

 

7. Сектор видимости

Для одного из пунктов составить сектор видимости. Желательно выбрать пункт, являющийся центром центральной системы. Для составления сектора видимости выбрать твердые ориентиры (трубы заводов, сооружения башенного типа, часовни и т.д.) в радиусе 2-5 км от пункта и приняв один из них за начальное направление, указать угловые величины на все пункты. Второй ориентир принимаем для контроля (рис.7).

 

Рис.7. Сектор видимости для пункта Скряблы

 

Условные обозначения на схеме

Часовня, принятая за ориентир

……сооружение башенного типа

 

Литература

1. Инструкции о построении государственной геодезической сети СССР. - М.: Недра, 1966.

2. Куштин И.Ф., Куштин В.И. Геодезия. - Ростов-н/Д: Феникс, 2009.

3. Основные положения о государственной геодезической сети Российской Федерации ГКИНП(ГНТА)-01-006-03.

4. Яковлев Н.В. Практикум по высшей геодезии.-М.: Недра, 1982.