Методикаурахування пружного розвантаження

Проектування технологічних процесів гнуття профільованихзаготівок з використанням різноманітного розмірного інструменту (пуансонів,матриць, оправок) враховує визначений радіусу інструменту для гнуття, що забезпечує отримання заготівок з остаточним радіусом R, що приблизно дорівнює відповідному радіусу виробу R_вир. Чим ближче значення R до R_вир, тим менше додаткових робіт, вища точність виробу та якість обробки.

Застосування математичного моделювання дає можливість досить точно розрахувати параметри пружного розвантаженнязаготівки та врахувати його при визначенні радіусу інструменту гнуття.

Для розробки розрахунку параметрівпружного розвантаження поперечний перетин може бути характеризований приблизно, з апроксимацією криволінійних дільниць контуру ломаними лініями. Похибка апроксимації, що не перевищує, допуски на розмір поперечного перетину, вважається у даному випадку припустимою.

Незважаючи на велику різноманітність існуючих поперечних перетинів профілю, що застосовується за для виготовлення шпангоутів, поперечний перетин профілів обмежений, як правило є більш ніж одним замкнутим контуром. Кожен з контурів може задаватися як контур многокутника - впорядкованою великою кількісно координат вершин у_і , х_і. Напрям нумерації вершин (і =1, 2, п,) обирається у напрямку проти годинникової стрілки. Початок координат можливо розміщувати за власними розсудом. Але, для визначеності умовимось, щовісь у завждибуде розміщена паралельно площині гнуття та завжди спрямована від центру кривизни профілю, що гнеться.

Для профільних заготівок із несиметричним контуром перетину технологічне гнуття, суворо кажучи, неможливо вважати плоским, можливі й косий вигини та кручення. Але, враховуючи той факт, що на заключній стадії гнуття трапляється у задній площині та заготівка торкається до інструменту гнуття, будемо вважати пружно-деформуючий стан у момент переходу від розвантаження не залежним від координати х.

За для виконання різноманітних розрахункових процедур, у тому числі для чисельного інтегрування по площині поперечного перетину, розіб'ємо його на матерыальны шари, однакової висоти ∆Н. Кількість таких шарів може бути будь-яким. Але, як показують розрахунки, рекомендована кількість шарів т необхідно задавати від 50 до 200. Розрахункові значення деформацій та напружень будемо усереднювати у межах кожного шару.

Як показує аналіз поперечного перетину профілів, що використовуються для виготовлення шпангоутів, матеріальний шар може складатися з однієї або декількох частин, розділених між собою. Поперечний перетин частин шарів для спрощення розрахунків можливо замінювати прямокутниками. У цьому випадку бокові сторони прямокутників рівні по висоті ∆Н, та співпадають із контуром поперечного перетину або перетинають його у точках, через які проходить середня лінія прямокутника.

У результаті цієї процедури поперечний перетин профілю перетворюється у велику кількість прямокутників автоматично, для цього використовуємо рівняння прямих, що співпадають із середніми лініями прямокутників:

У=У_j=У_міп+(j-0,5) ∆Н

де ∆Н= (У_мах - У_міп) (У_міп - У_мах)/ м; j – номер шару у напрямку вісі ординат; м – кількість шарів; У_міп та У_мах – максимальні та мінімальні ординати контуру поперечного перетину профілю, визначається простою перебіркою його вершин.

Як виходить із аналізу контурів поперечних перетинів профілів, що застосовуються для виготовлення шпангоутів, кожна пряма у=у _j має загальні точки із контуром поперечного перетину. Кількість таких точок, що належать одній прямій у=у _j як правило, рідко перевищує кількість у 4 шт. та завжди є

парним. Виявити ці точки можливо шляхом перевірки розміщення кожної пари сусідніх вершин контуру відносно прямої. Якщо у₁ > у _j > у _j+1 або у₁ < у _j < у _j+1 відповідно і -я и і + 1 -я вершини контуру розміщені по різні боки від прямої, яка у свою чергу перетинає відрізок, що з'єднує вказані вершини.

Можливо виключити спів падіння прямих у=у _j із вершинами контуру поперечного перетину, Й відповідно, із відрізками контуру, що паралельний вісі х. Для цього значення ординат вершин контуру необхідно спростити, наприклад до 0,1 мм, як при введенні значень, так й після перерахунку, якщо проводиться поворот поворотного перетину відносно координат вісей. Будемо спрощувати й значення у_і а потім збільшувати на 0,01мм. Таким чином формується двомірний масив А(м,10) із достатнім запасом елементів по розміру 10, який дозволяє розмістити абсциси усіх точок поперечного перетину профілю за допомогою прямих, що проходять по середині матеріальних шарів.

Після формування масиву А_j (10)_, він пересортовується у напрямку зростання так, щоб А_jl ≥ А_jl-1. При цьому не використані значення абсцис точок контуру поперечного перетину профілю елементи масиву А, прирівнюються до нулю. У результаті проведеним розрахунків за визначеним алгоритмом поперечному перетину профілю, що координатами вершин, виявляється зміненим до дискретного виду – із великою кількістю прямокутників дуже малої висоти ∆Н. Відповідно до алгоритму крайніх точок середніх ліній прямокутників зведені до упорядкованого А(м, 10 ) масиву. Ширина прямокутників, у відповідності до висоти, може бути різною – А_j2-А_j1, А_j4-А_j3 і т.п. Загальна ширина усіх прямокутників поперечного перетину j - го матеріального шару поперечного перетну профілю підраховується у загальному випадку як за допомогою різниці сум ∑ А_jк та ∑ А_jк-1 із парними і к= 2,4,...,10.

Дискретне представлення контуру поперечного перетину профілю дає змогу розрахувати геометричні характеристики профілю за допомогою циклічних розрахунків відповідно до наступного виразу:

f j = ∆Н ; F= ; y₀=(1/F) ;

Cj=[∆Н/(2fj)] ; х₀=(1/F) ;

Ij=(∆Н /4)

Ix= ; Iy= ;

Ixy= ;

У приведених виразах: k - парний індекс; Cj - абсциса центра ваги поперечного перетину j -го шару, якшо профіль гнеться у площині симетрії; Cj=xo, Ixy=0, Ix - центральні моменти інерції. підраховані відносно координатних вісей X=x-x0, Y=y-y0, x0,таF - координати центра ваги та площина поперечного перетину профілю; Ij - власний момент інерції поперечного перетину шару відносно прямої х=С j, другим моментом інерції нехтуємо у разі малого значення ∆Н.

На пасивній стадії пластичного формоутворення, у процесі розвантаження зігнутої заготівки, внутрішні сили та моменти, змінюючись адекватно до зовнішньому навантаженню, приходять до врівноваженого стану. В умовах рівноважного стану значень внутрішніх моментів, що підраховані по всій площині поперечного перетину заготівки, у кінці розвантаження рівні нулю:

Мх_оос= , Мy_оос= ,

Розміри і форму поперечного перетину будемо вважати незмінними. У цьому випадку, складова епюри залишкових напружень .

У відповідності із теоремою Л.А. Іллюшина (пружне розвантаження) параметри пружного розвантаження можуть бути розраховані як переміщення дружнього гнуття заготівки зовнішніми силами та моментами, рівними зворотнім за знаком значень сил та моменті», діючих у кінці гнуття - початку розвантаження. Відносне зміненім довжини матеріального шару при пружному розвантаженні ε_роз- має зворотній знак у порівнянні із аналогічною деформацією гнуття ε_гиб. Залишкові напруження у заготівці після гнуття та розвантаженні можуть бути визначені наступним чином:

σ_ост = σ_гиб +Е ε_роз (3)

Оскільки радіус гнуття у багато разів більше висоти поперечного перетину заготівки радіальні напруження дуже малі. Дотичні ж напруження г можуть бути значними, однак їх вплив на σ_гиб незначне. При збільшенні г від 0 до 0,1 σ_гиб, останнє зменшувалось відповідно до умови пластичночсті усього на 1,5%. Виходячи із цього, напруження гнуття σ_гиб можливо підраховувати виходячи із лінійної схеми напруженого стану профільованих заготівок, нехтуючи радіальними та дотичними напруженнями. Таким чином залежність між напруженням та деформацією гнуття ідентичне діаграмі істинних напружень σ=*Ф(ε) при лінійному розтягненні. Діаграму отримували за допомогою стандартних механічних випробувань зразків, що були вирізані із профілю. У розрахунку параметрів пружного розвантаження використовувались табличні дані діаграми розтягнення о застосуванням лінійної інтерполяції.

Застосування лінійної інтерполяції значить, що дільниці кривої замінені відрізками, що з'єднують задані точки. Похибка при цьому дуже мала у порівнянні із похибкою при використанні регулярних (не поділених на шматки) апроксимуючих функцій, особливо для матеріалів, діаграми покращення міцності яких мають площадку текучості.

Напруження гнуття розраховується як функція деформації у відповідності до наступних виразів σ= Ф(ε_гиб) та ε_гиб = (у-у_н) /r де r та у_н радіус гнуття та ордината нейтральної лінії у кінцевий момент гнуття. У тому ж випадку, якщо поперечний перетин профілю сіметричен відносно нейтральної лінії й профіль не напружений повздовжньою силою, тоді нейтральна лінія проходить скрізь центр тяжіння поперечного перетину, тобто у_н=у₀ У інших випадках значення визначається із умови: складова епюри напружень гнуття повинна бути рівною заданому значенню повздовжньої сили Р, або - нулю, якщо гнуття проводиться без розтягування.

У першому наближенні приймають у_н=у₀, у наступних приближеннях ордината нейтральної лінії змінюється на величину ±Н. Знак визначається на основі порівнювання заданого значення сили Р із розрахунковим значенням при j = 1, 2,... m. Для кожного положення нейтральної лінії виконується розрахунок напружень гнуття. Значення ординати у_н підбирається до тих пір, доки не зміниться знак різниці цезначить, що положення

нейтральної лінії встановлене із точністю до висоти шару ∆Н. після визначення у_н розраховуємо проекції згинального моменту:

 

Мх= Мy=

де значення fj, Сj, х₀ , у₀ вираховуються за формулою (1).

Остаточна кривизна заготівки після гнуття та пружного розвантаження:

де R=1 - радіус остаточної кривизни, б =± - змінення кривизни при розвантаженні.

Зазвичай кривизна заготівки при розвантаженні зменшується (δ<0), при виконанні операції гнуття у протилежному напрямку – збільшується δ<0. Якщо змінення кривизни заготівки при гнутті або дії протилежнії гнуттю здійснюється у одній й тій ж площині, деформацію розвантаження волокна можливо підрахувати за [1]:

ε_раз=(ρ₁- ρ_н1) (1/ ρ_н2-1/ ρ_н1) (ρ_н1-ρ₁)

де ρ₁, та ρ₂, - значення радіуса волокна; р_н1 та р_н2 - значення нейтрального радіусу, індекси 1 та 2 позначують відповідно початкові й кінцеві моменти розвантаження.

Для спрощення розрахунку пружньої деформації проведемо заміну р_н1 / р₁ ≈1, тоді:

ε_раз=У₁ δ

де У₁= ρ₁ - р_н1координати волокна, що відраховується від нейтральної

лінії розвантаження.

Розрахунки за формулою (5) значення ε_раз є завищеними, якщо радіус волокна ρ₁ > р_н1та заниженими при ρ₁ < р_н1. Однак у любому випадку похибка розрахунків не перевищує 5%.

Розглянемо гнуття несиметричних профілів. Розрахункова схема для пружного розвантаження несиметричних профілів приведена на мал.1:

Пружне розвантаження зігнутого несиметричного профілю може супроводжуватись поверненням його поперечним перетином, у цьому випадку вектор змінення кривизни профілю відхилюється від площини гнуття на деякий кут α (див. мал. 8).

Мал. 8. Розрахункова схема пружного розвантаження несиметричних

профілів:

А-А - нейтральна лінія гнуття;

В-В - нейтральна лінія розвантаження.

Складові та вектора пропорціональні проекціям згинальних моментів Мх та Му. Складовим вектора відповідають відносні подовження волокон профілю, що дорівнюють Х та У відповідно, деформації

розвантаження несиметричного профілю можуть підраховуватись за формулою (5), при цьому координатна вісь У₁ що перпендикулярна нейтральній лінії розвантаження, спрямована у протилежний бік у порівнянні із вектором .

У результаті пружного розвантаження несиметричних профілів здійснюється змінення їх кривизни не лише за величиною, але й за напрямком. Це значить, що повздовжні матеріальні волокна, з яких складається заготівка, після пружного розвантаження розміщується у площинах, що утворюють із площиною гнуття деякий кут β(мал. 8). Усі поперечні перетини виробу повертаються на кут β, відносно свого номінального положення. Базова поверхня шпангоута не торкається контрольної плити. Розглянуте явище називається закручуванням, або гнуттям у не заданій площині. За для попередження його появи необхідно змінити положення площини гнуття або застосовувати гнуття заготівки у двох площинах. У обох випадках необхідно забезпечити таке формо змінення заготівки, щоб її поперечні перетини після закручування біли орієнтовані відповідним зразком.

Щоб розробити процедуру автоматизованого розрахунку пружного розвантаження, універсальне по відношенню до форми поперечного перегину заготівки необхідно виразити параметри пружного розвантаження за допомогою загальних геометричних характеристик поперечного перегину профілю.

Використовуючи співвідношення (3) та (5), запишемо рівняння (2) у вигляді:

М х+Еδ =0 Му+Еδ =0

Змінено ці рівняння з урахуванням формули повороту координатних вісей Y₁cosα-Xsinα та інтегральних виразі моментів інерції. У результаті отримуємо: М_х =-Еδ(І_Х cosα - І_ХY sinα),

М_у =-Еδ(І_ХY cosα- І_Х sinα)

Після вирішення рівнянь отримуємо:

α = arctg δ =

β = arctg R =

Останні два вирази отримані з векторного співвідношення (4). Застосування формул (6) за для розрахунку параметрів пружного розвантаження для симетричних профілів, призводить до очевидному, наступному результату: α=0, β=0. Значення кута закручування β несиметричних профілів, що розрахований за формулою (6), приймають значення 2-4° та складають у середньому 5-10% величини а - кута ніж нейтральними лініями гнуття та розвантаженню.

Із формули (6) для розрахунку кута а слідує, що цей кут залежить, головним чином, від форми поперечного перетину профілю. Значно менше він залежить від властивостей матеріалу та радіусу гнуття, оскільки ці параметри приблизно однаково впливають на величини М_х та М_у.

При визначенні співвідношення розмірів несиметричних профілів розрахункові значення α рівні нулю, відповідно, розвантаження несиметричних профілів заготівок не обов'язково супроводжується розгорненням поперечних перетинів.

У результаті розвантаження, напруження у заготівках змінюються на величину ∆σ. При відсутності повздовжньої сили:

Якщо зміна напружень ∆σ має пружній характер, нейтральна лінія розвантаження проходить скрізь центр поперечного перетину, у протилежному випадку не буде виконана умова (7). У випадку наспів падіння нейтральних ліній гнуття та розвантаження між ними знаходиться частина поперечного перетину, у якій деформації розвантаження мають той ж знак, що й деформація гнуття, відповідно, можлива наявність пластичної деформації розвантаження. Останні викликають значно малу зміну напруги ∆σ у порівнянні із пружнім зміненням напруження у інших матеріальних шарах, тобто частина матеріальних шарів не "працює" під час розвантаження заготівки. За для підвищення точності розрахунків параметрів дружнього розвантаження, слід виключити ділянку пластичних деформацій розвантаження із поперечного перетину. Це обумовлене тим, що при отриманні формули (6) для розрахунку геометричних параметрів виходили із пружного характеру змінення напруги - ∆σ=Еε_раз. Для цих цілей розроблена процедура корегування ваги А(м, 10)

При проектуванні технологічних процесів гнуття шпангоутів, радіуси гнуття r доводиться задавати вільно, після чого розраховувати остаточний радіус заготовки з урахуванням пружного розвантаження та порівнювати його із відповідним радіусом виробу, що вимагається. На основі порівняння вихідне значення r може змінюватись та розрахунок проводитиметься знову. Ця процедура повторюється до тих пір, доки не буде отримано достатнього наближення розрахункового значення остаточного радіусу R із значенням радіусу Rвир. Для виконання процедури у автоматичному режимі необхідно, щоб послідовність розрахунків була строго сходящеєсю, що забезпечує спів падіння величин R та Rвир із відповідною ступінню точності за кінцеве число кроків.

Розглянемо процес розрахунку гнуття симетричних профілів, при цьому будемо записувати співвідношення (4) у скалярному вигляді, замінив величину R на Rвир:

1/ R _изд=1/ r+δ (8)

Останній вираз представляє рівняння із однією невідомою 1/ r, оскільки змінення кривизни заготівки при розвантаженні з δ - це функція аргументу.

Графічна інтерпретація ітераційного розрахунку радіусу гнуття r приведена на мал.9. На дільниці, що відповідає гнуттю, функція співпадає із бісектрисою координат - 1/ r.

Мал. 9 Графічна ітераційного розрахунку радіусу гнуття

Значення радіусу гнуття r=r*, при якому остаточний радіус R дорівнює Rвир, знаходимо вирішуючи рівняння (8). Точне алгебраїчне рішення цього рівняння неможливо, оскільки функція δ визначається чисельним шляхом. Взагалі можливе графічне вирішення: відстань між кривою функції δ та бісектрисою координатного кута (див, мал.2), яке виміряне по прямій1/r-1/r* повинно складати 1/ Rвир як слідує із рівняння (8). Для того, щоб звести його рішення до рішення трансцендентного рівняння методом послідовних приближень [1] алгоритмизируємо отримання графічного рішення.

У якостіпершого приближення приймаємо 1/r=1/ Rизд. У кожному наступному n+1-м приближенні до величини 1/ Rвир додається абсолютна величина змінення кривизни при розвантаженні δ, що було розраховане у попередньому наближенні: 1/r_п+1= +1/ Rизд. Ітераційний процес розрахунків зображений на мал. 2 ломаною лінією, яка починається у точці: 1/r=1/ Rизд, δ=0 та спрямована до точки із координатою 1/r* Кожна ітерація додає до ломаної лінії два відрізка, що дорівнюють ln. На мал. 2 зображені дві пари відрізків, що відповідають 1-Й та 2-й ітераціям.

Умова виходу із ітераційного циклу мас вигляд:

1/ r_n+δ_n ≥(1-р)/ Rвир

У лівій частині нерівності записано вираження для визначення залишкової кривизни заготівки після гнуття на радіус r_n, а р - задана похибка розрахунки, наприклад 0,001.

Ітераційне рішення рівняння ніколи не дає точного значення кореня, хоч і наближення до точному рішенню може бути як завгодно близьким. У розрахунку радіуса гнуття за 4-5 ітерацій отримується висока точність наближення (99,9%) розрахункового остаточного радіусу заготівки до заданої величини Rвир.

При розрахунку радіусу гнуття несиметричних профільованих заготівок використовуємо формулу (4.7) розрахунок кінцевого радіусу R:

Як зображено раніше кут о майже не залежить від r, та cosβ ≈1, тому це рівняння вирішується тим же методом, що й рівняння (8),

На мал. З зображено збільшений алгоритм проектування технологічного процесу гнуття профільованих заготівок для виготовлення шпангоутів.

До розрахункових параметрів гнуття несиметричних профілів відносяться також вихідні значення кута орієнтації поперечного перетину профілю відносно плоского згинання. Значення даного параметру визначається з урахуванням закручуванням профілю у процесі розвантаження на кут β. Спочатку розраховується радіус гнуття профілю, орієнтованого так, як це задано у кресленні виробу. Після визначення кута закручування β його значення порівнюється із допустимим значенням β_доп. Якщо модуль > β_доп - розрахункова схема гнуття коректується: поперечний перетин профілю відносно площини гнуття на кут β, й знову розраховується радіус гнуття (див. мал. 10).

Оскільки абсолютне значення кута β не перевищує 5 6° після повороту поперечного перетину профілю на кут β розрахункове значення β значно не

змінюється й положення профілю відносно площини гнутті не потребує подальшого уточнення.

Таким чином, проектування технологічного процесу гнуття профілів зводиться у загальному випадку зводиться до визначення радіусу гнуття інструменту й кутової орієнтації поперечного перетину заготівки відносно площині гнуття.

 

Мал. 10. Збільшений алгоритм проектування технологічного процесу гнуття профільованих заготівок.

Таблиця 13-Ітераційний розрахунок параметрів гнута № ітерації r, мм α, рад R,мм β, рад             1850,0 0,35120 2461,4 0,11857   1477,6 0,31396 1864.2 0,08557   1462,1 0,31396 1851,9 0,09665   1460,0 0,36526 1850,1 0,09624

У табл.13 приведені, у якості прикладу, проміжні та результуючі данні розрахунку параметрів гнуття кутового профілю 50x50 мм із товщиною стінки 5мм, матеріалом - сплав АМг6. Потребує мий радіус виробу 1850мм