Геометрическое определение вероятности. Его недостатки. Задача о встрече.

Пусть случайное испытание можно представить себе как бросание точки наудачу в некоторую геометрическую область G (на прямой, плоскости или пространстве). Элементарные исходы – это отдельные точки G, любое событие – это подмножество этой области, пространства элементарных исходов G. Можно считать, что все точки G «равноправны» и тогда вероятность попадания точки в некоторое подмножество пропорционально его мере (длине, площади, объему) и не зависит от его расположения и формы.

Геометрическая вероятность события А определяется отношением:
,
где m(G), m(A) – геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов и события А.

Пример. На плоскость, разграфленную параллельными полосами шириной 2d, расстояние между осевыми линиями которых равно 2D, наудачу брошен круг радиуса r (). Найти вероятность того, что круг пересечет некоторую полосу.

Решение. В качестве элементарного исхода этого испытания будем считать расстояние x от центра круга до осевой линии ближайшей к кругу полосы. Тогда все пространство элементарных исходов – это отрезок . Пересечение круга с полосой произойдет в том случае, если его центр попадет в полосу, т.е. , или будет находится от края полосы на расстоянии меньшем чем радиус, т.е. .

Для искомой вероятности получаем: .

Классическое определение вероятности имеет ограничение по его применению. Предполагается, что множество элементарных событий Ω конечно или счетное, т.е. Ω = { ω ₁, ω ₂, …, ω _n, …}, а все ω _i – равновозможные элементарные события. Однако, на практике встречаются испытания, для которых множество элементарных исходов бесконечно. Например, при изготовлении на станке некоторой детали нужно выдержать определенный размер. Здесь точность изготовления детали зависит от мастерства рабочего, качества режущего инструмента, совершенства станка и т.д. Если под испытанием понимать изготовление детали, то в результате такого испытания возможно бесконечное множество исходов, в данном случае получение деталей требуемого размера.

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, иногда используют некоторые понятия геометрии (если, конечно, позволяют обстоятельства испытания). Во всех таких случаях предполагается возможность проведения (хотя бы теоретически) любого числа испытаний, и понятию равновозможности также отводится главная роль.

Пусть рассматривается испытание с пространством событий, элементарные исходы которых представляются в виде точек, заполняющих некоторую область Ω (в трёхмерном пространстве R ³). Пусть событие А состоит в попадании брошенной случайным образом точки в подобласть D области Ω. Событию А благоприятствуют элементарные события, в которых точка попадает в некоторую подобласть D. Тогда под вероятностью события А будем понимать отношение объёма подобласти D (выделенная область на рис. 1.11) к объёму области Ω, Р (А) = V (D) / V (Ω).

Рис. 1.11

Здесь, по аналогии с понятием благоприятствую-щего исхода, область D будем называть благопри-ятствующей появлению события А. Аналогично определяется вероятность события А, когда множество Ω представляет собой некоторую область на плоскости или отрезок на прямой линии. В этих случаях объёмы областей заменяются соответственно площадями фигур или длинами отрезков.

Таким образом, мы приходим к новому определению ‒ геометрической вероятности для испытаний с бесконечным несчётным множеством элементарных событий, которое формулируется следующим образом.

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры подобласти, благоприятствующей появлению этого события, к мере всей области, т.е.

р(А) = mesD / mesΩ,

где mes – мера областей D и Ω, D Ì Ω.

Геометрическая вероятность события обладает всеми свойствами, присущими классическому определению вероятности. Например, 4-е свойство будет таким: р (А + В) = р (А) + р (В).