Типовые входные воздействия и реакции на них.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 

Курганский государственный университет

 

 

Кафедра автоматизации производственных процессов

 

 

ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

 

 

Методические указания к

выполнению контрольного задания

по курсам “Теория автоматического управления”,

“Управление техническими системами”

для студентов специальностей 210200, 030500, 330100

заочной формы обучения

 

 

Курган 2003

 

Кафедра автоматизации производственных процессов

 

Дисциплины: “Теория автоматического управления”

(направление 657900, специальность 210200),

“Управление техническими системами ”

(направление 651400, специальность 030500),

(направление 656500, специальность 330100).

 

Составила: доцент, канд. техн. наук Иванова И.А.

 

Утверждены на заседании кафедры “ ” ___________ 2003 г.

 

Рекомендованы редакционно-издательским советом университета

“ ” ___________ 2003 г.

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Для анализа САУ необходимо иметь ее математическое описание. Система разделяется на элементы и составляются уравнения, описывающие их поведение – изменение состояния во времени. Уравнения составляются на основании анализа физических, химических и иных процессов, происходящих в элементах.

Ниже рассматриваются только стационарные САУ, у которых свойства элементов не изменяются с течением времени и каждый динамический процесс (изменение состояния элемента во времени) зависит лишь от начального состояния элемента и характера внешних воздействий.

В практике широко используют представление элементов их передаточными функциями.

Контрольная работа содержит задачи по следующим темам:

- общие понятия и определения;

- логарифмические частотные характеристики и логарифмические единицы измерения;

- восстановление передаточной функции САУ по ее логарифмической характеристике (ЛАЧХ);

- определение по передаточной функции САУ типовых звеньев, входящих в ее структуру;

- определение по передаточной функции САУ значения фазовой частотной характеристики при заданном значении частоты;

- определение граничного коэффициента передачи разомкнутой цепи САУ;

- определение запасов устойчивости по амплитуде и фазе;

- передаточные функции САУ при жестких и гибких обратных связях;

- вывод передаточных функций четырехполюсников;

- расчет характеристик в статическом режиме;

- определение вида переходной характеристики по передаточной функции звена или вида ЛАЧХ.

 

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Передаточная функция

Передаточной функцией элемента называется отношение изображений по Лапласу выходной и входной величины при нулевых начальных условиях.

Передаточные функции элемента определяются относительно каждого из входных воздействий, при этом предполагается, что все остальные входные воздействия равны нулю.

Типовые входные воздействия и реакции на них.

На практике часто имеется резкое изменение внешнего воздействия на САУ, например, включение или выключение потребителей электрической энергии, увеличение или уменьшение момента сопротивления на валу регулируемого двигателя и т.п. Типовым изменением воздействия считают мгновенное его изменение от нуля до значения, равного единице. Для математической записи используют единичную ступенчатую функцию:

 

Реакция элемента или системы при нулевых начальных условиях на входную величину, являющуюся единичной ступенчатой функцией времени, называют переходной характеристикой (переходной функцией) элемента или системы.

,

где – передаточная функция элемента или системы,

- изображение единичной ступенчатой функции.

Другим часто встречающимся изменением внешних воздействий являются их кратковременные, но существенные по значению всплески, импульсы.

Нормированным импульсным воздействием считается единичный импульс, у которого произведение длительности на величину равно единице. Пределом, к которому стремится единичный импульс, когда его продолжительность стремится к нулю – единичная импульсная функция

 

- что является основным свойством - функции.

Реакцию элемента или системы на единичную импульсную функцию называют импульсной характеристикой (функцией веса) .

Импульсные и переходные характеристики дают информацию о поведении автоматических систем в переходных режимах. Для оценки установившихся режимов более удобно рассматривать поведение элементов и систем при воздействиях, являющихся периодическими функциями времени. В качестве таких воздействий были выбраны гармонические воздействия. Гармонические воздействия имеют следующие преимущества:

1) реально встречающиеся воздействия, как правило, могут быть представлены в виде суммы гармоник различных частот (разложение Фурье)

2) в установившихся режимах гармонические сигналы передаются линейными элементами и системами без искажений.

Если на вход стационарного линейного элемента или системы воздействует гармонический сигнал

где - амплитуда

- угловая частота.

Тогда на выходе с течением времени устанавливается гармонический сигнал той же угловой частоты, но с измененным значением амплитуды и фазы сигнала.

Отношение - называется амплитудно-частотной характеристикой; - фазово-частотной характеристикой.

Эти характеристики показывают, что линейный элемент или система изменяет амплитуду и фазу гармоничного сигнала: в установившемся режиме амплитуда увеличивается или уменьшается и сдвиг фазы увеличивается или уменьшается при каждом значении угловой частоты .

Частотные характеристики зависят от свойств элемента или системы, но не зависят от амплитуды и фазы входных гармонических сигналов.

Частотные характеристики любого объекта связаны с его передаточной функцией. Если в выражение передаточной функции вместо подставить мнимую величину (подстановку Фурье), то получаем частотную передаточную функцию . Частотная передаточная функция является комплексной величиной, , модуль которой равен отношению амплитуды выходного и входного сигнала, а аргумент – углу сдвига фаз между выходным и входным сигналами. Функция может быть представлена в алгебраическом виде , где - действительная часть, - мнимая часть частотной передаточной функции.

Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) представляет собой годограф (геометрическое место концов векторов) частотной передаточной функции при изменении частоты от 0 до . Характеристика строится на комплексной плоскости. Для построения АФХ выражение представляют в виде действительной и мнимой частоты путем умножения числителя и знаменателя на сопряженное знаменателю выражения. В выражениях и частоту изменяют от 0 до .

При расчетах широко используют логарифмические частотные характеристики: логарифмическую амплитудно-частотную характеристику (ЛАЧХ) и логарифмическую фазо-частотную характеристику (ЛФЧХ). При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе. Отрезок оси абсцисс, соответствующий изменению частоты в 10 раз, называется декадой. Обычно ось абсцисс начинают с частоты , т.к. . По оси ординат ЛАЧХ откладывают в равномерном масштабе логарифмическую амплитуду в децибеллах.

ЛФЧХ имеет такую же ось абсцисс, что и ЛАЧХ, а по оси ординат откладывают в равномерном масштабе угол сдвига фаз .

Логарифмические частотные характеристики удобны тем, что охватывают больший диапазон частот и кривые амплитудно-частотных характеристик заменяются отрезками кривых с определенными углами наклонов: дб/дек, дб/дек и т.д.

Физический смысл наклона – 20 дб/дек: при удесятерении частоты амплитуды выходного сигнала уменьшается в 10 раз, соответственно наклон – 40 дб/дек – означает уменьшение амплитуды в 100 раз.

Порядок построения ЛАЧХ и ЛФЧХ:

1. Определяются частоты сопряжения и расставляются по оси абсцисс.

2. Определяется первоначальный наклон характеристики, он составляет:

0 – при отсутствии интегрирующих звеньев

- 20 дб/дек – при наличии интегрирующего звена

- 40 дб/дек – при наличии двух интегрирующих звеньев

+ 20 дб/дек – при наличии дифференцирующего звена.

3. Определяется начальная точка характеристики 20 К на частоте .

4. Первоначальный наклон характеристики продолжается до первой частоты сопряжения, после чего меняется на – 20 дб/дек, если частота сопряжения соответствует апериодическому звену I порядка, - 40 дб/дек – если колебательному звену, + 20дб/дек – если форсирующему звену.

Наклон характеристики меняется после каждой частоты сопряжения. Угол сдвига фазы определяется:

- постоянная времени

- постоянная времени форсирующих звеньев

- постоянная времени колебательных звеньев

- количество интегрирующих звеньев.

 

Задание на контрольную работу

Задача 1.

Определить постоянную времени апериодического звена с коэффициентом передачи , если частота среза его ЛАЧХ

 

Вар.
К

Задача 2.

 

Указать величину наклона ЛАЧХ для САУ с передаточной функцией при частоте и определить значение

№ варианта

 

 

№ варианта

 

 

№ варианта

 

 

Задача 3.

Задана последовательность наклонов ЛАЧХ дб/дек на уровне

дб при , дб/дек при , при , дб/дек при . Восстановить передаточную функцию по этим данным, представив ответ в виде дроби с полиномоми в числителе и знаменателе, заданными в порядке убывания степени оператора Лапласа.

 

Вар.
		-20		-20		-20		-20		-20
	-20	-40	-20		-20		-20		+20
	-40	-20	-40	-20	-40	-20	-40	+20		-20
	-60	-40	-60		-20	-40	-20		-20	-40

 

Задача 4.

 

Определить граничное значение коэффициента передачи САУ, заданной структурной схемой:

 

W1(p)

W2(p)

 

№ варианта

 

 

№ варианта

 

 

№ варианта

Задача 5.

 

Апериодическое звено с параметрами и охвачено обратной связью с коэффициентом трения . Определить коэффициент передачи и постоянную величину времени эквивалентного апериодического звена.

 

 

Вариант
	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
Обр. Связь	Жесткая Положит.	Гибкая отриц.	Жесткая положит.	Гибкая отриц.	Жесткая положит.

 

 

Вариант
	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
Обр. Связь	Жесткая Положит.	Гибкая отриц.	Жесткая положит.	Гибкая отриц.	Гибкая отриц.

 

Задача 6.

 

Определить величину выходного напряжения в установившемся режиме при возмущающем воздействии и неизменном задающем воздействии в САУ, структурная схема которой

 

f

 

 

W2(p)

W1(p)

U_вх U_вых

 

 

Вариант

 

 

Вариант

 

 

Задача 7.

 

По ЛАЧХ звена определить вид переходной характеристики на выходе этого звена

 

 

20lgK

-20

 

 

 

Вариант
	0,2	0,3	0,5	0,7	0,9
	0,1	0,03	0,2	0,1	0,2

 

Вариант
	0,2	0,4	0,6	0,8	0,15
	0,02	0,04	0,1	0,3	0,05