Екі айнымалы функция экстремумы, еҢ Үлкен жӘне еҢ кіші мӘндері. БаҒыты бойынша туынды. Градиент.

1. Жоғарғы ретті дербес туындылар

2. Толық өсімше және толық дифференциал

3. Толық дифференциалдың жуықтап есептеуге қолданылуы.

4. Скаляр өріс

5. Бағытталған туынды

6. Градиент.

Жоғарғы ретті дербес туындылар.

екі айнымалының функциясы берілсін. Дербес туындылар жалпы айтқанда х және у айнымалыларының функциясы болады. Сондықтан олардан тағы да дербес туынды табуға болады. Екі айнымалының екінші ретті туындысы төртеу болады. Өйткені функциясының әрқайсысын х және у бойынша дифференциалдаймыз. Оларды былай белгілейміз.

, . Т.с. Жалпы айтқанда n-ші ретті туынды (n-1)-ші ретті туындыдан алынған бірінші ретті туынды болады. Әртүрлі айнымалысы бойынша алынған екінші ретті немесе жоғарғы дербес туындылар аралас дербес туындылар деп аталады.

Толық өсімше және толық дифференциал..

екі айнымалының функциясы берілсін. Х және у аргументтері сәйкес өсімшелерін алсын. Сонда функциясы толық өсімшесін алады, ол формуласымен өрнектеледі. Яғни (*).

Анықтама.Өсімшенің -ке қарағанда сызықтық бөлігін құрайтын қосылғыштары өсімшенің толық дифференциалы деп аталады. да dz немесе df деп белгіленеді. болады. Сонда (*) теңдік былай жазылады. . Осыдан деген жуық теңдік аламыз. Тәуелсіз айнымалылар өсімшесі -ті тәелсіз айнымалының дифференциалы деп атаймыз да dx және dy пен белгілейміз. Сонда болады. n>2 болғанда осыған ұқсас болады.

Толық дифференциалдың жуықтап есептеуге қолданылуы.

Айталық (х,у) нүктесіндедифференциалданатын екі айнымалының функциясы берілсін. Оның толық өсімшесі . Бұдан және болғандықтан болады, мұндағы . Сонда болады.

Күрделі функцияның туындысы. Толық туынды. Күрлелі функцияның толық дифференциалы.

теңдеуіндегі u және v тәуелсіз айнымалылары x пен y тің функциясы болсын . Сонда z x пен y аргументтерінің күрделі функциясы болады. күрделі функциясының дербес туындысы былай анықталады: , .

Егер , мұндағы y=y(x), u=u(x), v=v(x), болса, онда z бір айнымалы х-тің функциясы болады да туындыны табу туралы сұрақ қоюға болады. Сонда

Скаляр өріс.

Анықтама. Әрбір Р нүктесіне кезкелген бір скаляр шама u-дің сан мәні сәйкес келетін кеңістіктің бөлігін скаляр өріс деп аталады. Мысалы егер u=F(x,y,z) Доблысында берілсін M(x,y,z) нүктесіндегі температураны көрсетсе, онда скаляр температура өрісі берілген деп аталады. Егер Д облысы сұйықпен немесе газбен толтырылса және u=F(x,y,z) қысымды көрсетсе, онда қысымның скаляр өрісі т.с.с деп атаймыз.

Анықтама. Скаляр өрістің деігейлік беті деп (немесе эквипотенциалды беттер) өріс функциясы u=F(x,y,z) С-ға тең бірдей мән қабылдайтын кеңістіктің барлық нүктелерінің жиынтығын айтамыз. Сонымен беттің теңдеуі С=F(x,y,z) болады.