Лінійний простір 
над полем Р називають скінченновимірним, якщо існує таке натуральне число 
, що будь-яка лінійно незалежна система векторів з містить не більше, ніж векторів. У протилежному випадку простір називають нескінченновимірним.
Базою скінченновимірного лінійного простору називають лінійно незалежну систему твірних цього простору, тобто таку лінійно незалежну систему векторів 
, що кожний вектор 
є лінійною комбінацією векторів 
.
Теорема 1. Кожний скінченновимірний лінійний простір 
має базу.
Теорема 2. Система векторів 
скінченновимірного лінійного простору є базою простору тоді і тільки тоді, коли кожен вектор однозначно виражається у вигляді лінійної комбінації векторів .
Теорема 3. Кожні дві бази скінченновимірного лінійного простору складаються з однакової кількості векторів.
Теорема 4. Нехай - лінійно незалежна система векторів скінченновимірного лінійного простору . Еквівалентні такі властивості:
1) - база ;
2) - мінімальна система твірних простору ;
3) - максимальна лінійно незалежна система векторів простору .
Розмірністю скінченновимірного лінійного простору називають кількість векторів будь-якої бази цього простору. Розмірність простору м позначають 
.
Приклад 2.3. Знайти базу і розмірність лінійного простору 
многочленів степеня не вищого від .
Розв’язання. Розглянемо систему з 
векторів цього простору: 
. Рівність 
може виконуватись тотожно для всіх 
тоді і тільки тоді, коли 
. Отже система векторів є лінійно незалежною.. Кожний многочлен 
з простору є лінійною комбінацією заданої лінійно незалежної системи векторів . Отже, ця система векторів є базою простору . Розмірність цього простору 
.
КООРДИНАТИ ВЕКТОРА СТОСОВНО БАЗИ.
ЗВ’ЯЗОК КООРДИНАТ ВЕКТОРА В РІЗНИХ БАЗАХ.
Нехай лінійний простір над полем Р, - його база і . Тоді за теоремою про базу вектор 
однозначно розкладається за векторами бази:
,
де 
. Скаляри 
називають координатами вектора
Приклад 2.4 Вектор 
в базі 
, 
, 
має координатний рядок 
. Знайти його координати в базі 
, 
, 
.
Розв’язання. Координати вектора в базі 
знаходимо за формулою 
, де 
- матриця переходу від бази до бази 
. Матрицю знаходимо за формулою 
, де
, 
.
Отже,
.
Тоді,
Таким чином, 
.
Підпростори лінійного простору.
Нехай нам дано простір L над полем P і дано множину H, яка є підмножиною множини L. Підмножина Н називається підпростором простору L, якщо вона сама є лінійним простором над тим самим полем і тими ж операціями, що й простір L.
Критерій підпростору.
Підмножина Н множини L є підпростором ⇔ коли виконуються наступні умови:
1) (" a, b є H): {(a+b) є H}
2) (" a є H), (" α є P): {αa є H }
У кожному лінійному просторі L існують так звані тривіальні підпростори:
1) нульовий простір { 0L };
2) простір L;
Означення:
Множину всіх лінійних комбінацій векторів a₁, a₂, … an з простору L називають лінійною оболонкою цих векторів.
L (a₁, a₂, … an)={(α₁a₁+α₂a₂+... +αnan)αі є Р}
Зауваження:
Лінійні оболонки векторів згідно означення є підпросторами простору L.
