Корреляция
Корреляция позволяет определить степень независимости одного процесса от другого или установить сходство одного набора данных с другим. Корреляция также является неотъемлемой частью процесса свертки, который, по сути, - та же корреляция двух последовательностей данных, при вычислении которой одна из последовательностей обращена во времени.
Если два сигнала похожие и меняются при переходе от точки к точке, то меру их корреляции то меру их корреляции можно вычислить, взяв сумму произведений соответствующих пар точек.
В этом случае сумма произведений стремится к исчезающе малому случайному числу по мере увеличения пар точек.
В то же время, если сумма конечна, это указывает на наличие корреляции.
Отрицательная сумма указывает на отрицательную корреляцию, т.е. увеличение одной переменной связано с уменьшением другой. Таким образом, взаимную корреляцию r12(n) двух последовательностей данных x1(n) и x2(n), содержащих по N элементов, можно записать как
Такое определение взаимной корреляции дает результат, который зависит от числа взятых точек. Чтобы это исправить, результат нормируется на число точек (делится на N). Данную операцию можно также рассматривать как усреднение суммы произведений. Итак, получаем следующее улучшенное определение:
В некоторых случаях корреляция, определенная указанным выше способом, может быть нулевой, хотя две последовательности коррелируют на 100%. Это может произойти, когда два сигнала идут не в фазе (как часто и бывает). Данная ситуация иллюстрируются сигналами
Альтернативной и эквивалентной процедурой является смещение x1 вправо. В результате получаем такую формулу для взаимной корреляции:
Рассмотрим частный случай x1(n) = x2(n), т.е. найдем корреляцию сигнала с самим собой. Данный процесс называется автокорреляцией. Автокорреляционная функция сигнала определяется как
Автокорреляционная функция имеет одно весьма полезное свойство:
где S — нормированная энергия сигнала.
Если сигнал абсолютно случаен, сигнал, соответствующий белому гауссову шуму в электрической системе, его автокорреляция будет максимальной при нулевой задержке и уменьшаться до случайных флуктуаций малой амплитуды возле нуля для задержек, превышающих единицу.Кроме того, справедливо следующее соотношение:
Свертка
Свертка, описывает, как выход системы определяется взаимодействием входа с самой системой. Обычно выход системы является запаздывающей и подавленной или усиленной версией входа.
Выход системы, инициированный импульсным входом, не будет соответствующим импульсом, а будет меняться со временем, в некоторый момент достигая максимального значения, как показано на рис 8
Изучая приведенные выражения, находим, что выход получается умножением входной последовательности на соответствующие точки обращенной во времени функции импульсной характеристики. Альтернативный вариант — записать в таком виде:
и рассматривать выход как произведение соответствующих пар точек в функции импульсной характеристики и обращенной во времени входной последовательности.
Следовательно, сверточная сумма эквивалента взаимной корреляции одной последователь- ности и обращенной во времени другой.
Уравнения можно записать компактно:
Данные функции называются сверточными суммами входов с импульсной характеристикой, а выход находится как свертка входа с импульсной характеристикой системы.
Уравнения и можно расширить на сигналы бесконечной длительности, записав их следующим образом:
В приведенных уравнениях символ “~” обозначает операцию свертки.
Если вход состоит из непрерывной последовательности импульсов, приведенную выше сумму можно заменить интегралом, например, уравнение при этом приводится к виду
что называется интегралом свертки.
Свойства свертки
1. Закон коммутативности
Отметим, что данное выражение идентично следующему:
2. Закон дистрибутивности
3. Закон ассоциативности
Типы цифровых фильтров
Термином цифровой фильтр называют аппаратную или программную реализацию математического алгоритма, входом которого является цифровой сигнал, а выходом – другой цифровой сигнал форма и/или амплитудная и фазовая характеристики специальным образом модифицированы.
Цифровые фильтры разделены на два обширных класса:
· фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтры)
· фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры)
Фильтр каждого типа (в стандартной форме) можно представить через коэффициенты его импульсной характеристики h(k) (k = 0, 1, …), как показано на рис 17
Входной и выходной сигналы фильтра связаны через операцию свертки, данная связь приведена ниже для БИХ и для КИХ фильтров
уравнение 1.1
уравнение 1.2
Взамен этого уравнение БИХ-фильтрации переписываетсяв рекурсивной форме
уравнение 2
Где ak и bk – коэффициенты фильтра. Таким образом, уравнение 1 и 2 – это разностные уравнения КИХ и БИХ фильтров соответственно.
В уравнении 2 текущая выходная выборка y(n) является функцией предыдущих выходов, а также текущей и предыдущих входных выборок, так что БИХ-фильтр – это система с обратной связью.
Для КИХ-фильтра выходная выборка y(n) зависит только от прошедших и текущего входных значений. Однако, если положить все bk равными нулю, уравнение 2 сводится к уравнению 1.2
Анализ выбора между БИХ и КИХ фильтрами
Выбор между КИХ и БИХ-фильтрами зависит от относительных преимуществ обоих типов.
1.КИХ-фильтры могут иметь строго линейную фазовую характеристику.
2. КИХ-фильтры реализованы нерекурсивно, т.е. они всегда устойчивы. Гарантировать устойчивость БИХ-фильтров удается не всегда.
3. Для реализации фильтров используется ограниченное число битов.
4. Чтобы получить конечную импульсную характеристику с помощью фильтров с резкими срезами характеристики, потребуется больше коэффициентов, чем для получения бесконечной импульсной характеристики.
5. Аналоговые фильтры легко преобразовать в эквивалентные цифровые БИХ-фильтры, удовлетворяющие сходным спецификациям.
6. Синтез КИХ-фильтров алгебраически сложнее, если не использовать компьютерную поддержку разработки.
7. БИХ-фильтры рекуррентны.
Выбор между КИХ и БИХ можно сформулировать следующим образом:
· Использовать БИХ, если единственными важными требованиями являются характеристика с резкими срезами и высокая пропускная способность, поскольку БИХ-фильтры потребуют определения меньшего числа коэффициентов, чем КИХ-фильтры.
· Использовать КИХ, если число коэффициентов фильтров не очень велико и, в частности, если нужно, чтобы фазовое искажение отсутствовало или было малым.
20. Этапы разработки фильтра: спецификация требований, расчет коэффициентов, представление фильтра подходящей структурой, анализ влияния конечной разрядности, реализация фильтра.
Разработка цифрового фильтра проходит в пять этапов
1.Спецификация требований к фильтру.
2. Вычисление подходящих коэффициентов фильтра.
3. Представление фильтра подходящей структурой.
4. Анализ влияния конечной разрядности на производительность фильтра.
5. Реализация фильтра на программном и/или аппаратном уровне.
Спецификация требований включает спецификации
1) Характеристик сигналов(тип источника и получателя сигнала, интерфейс ввода-вывода, скорость передачи данных и ширина полосы, наивысшая частота, представляющая практический интерес)
2) Характеристик фильтра (желаемая амплитудная и/или фазовая характеристика и то, насколько данные требования строги, скорость работы и режимы фильтрации (реальное или модельное время));
3) Принципа реализации (например, как компьютерной программы на языке высокого уровня или как системы ЦОС на базе процессора, здесь же выполняется выбор процессора сигналов)
4) Других требований к структуре (например, стоимость фильтра).
Характеристики цифровых фильтров часто задаются в частной области
В полосе пропускания амплитудная характеристика имеет пиковое отклонение δР, а в полосе подавления — максимальное отклонение δS.
Ширина полосы перехода определяет, насколько резким является характеристика фильтра. В этой области амплитудная характеристика монотонно уменьшается от полосы пропускания до полосы подавления.
Интерес представляют следующие ключевые параметры:
δP — отклонение в полосе пропускания;
δS — отклонение в полосе подавления;
fр — граничная частота полосы пропускания;
fS — граничная частота полосы подавления.
Граничные частоты представляются в нормированной форме, т.е. как доля частоты дискретизации (f/Fs), но часто более содержательными являются спецификации, в которых используются стандартные единицы частоты (герцы или килогерцы).
Минимальное затухание в полосе подавления АS и максимальная неравномерность в полосе пропускания АP в децибелах записываются следующим образом (для КИХ-фильтров):
АS (затухание в полосе подавления) = -20lgδS,
Ар (неравномерность в полосе пропускания) = 20lg(l + δP).
При спецификации фазовой характеристики цифровых фильтров во многих случаях достаточно указать, что фазовое искажение существенно или что желательна линейная фазовая характеристика
Расчет коэффициентов
На этом этапе выбирается один из методов аппроксимации и вычисляются значения коэффициентов h(k) (для КИХ-фильтра) или ak и bk (БИХ-фильтра). Метод вычисления коэффициентов фильтра зависит от того, к какому классу относится фильтр — КИХ или БИХ.
Вычисление коэффициентов БИХ-фильтра традиционно основывается на преобразовании характеристик известных аналоговых фильтров в характеристики эквивалентных цифровых. При этом существует три основных подхода:
· Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики и
· Метод билинейного преобразования.
· Размещение нулей и полюсов (БИХ).
Коэффициенты КИХ-фильтров также можно вычислить несколькими различными способами:
· Вырезания (взвешивания),
· Частотной выборки
· Оптимальный (алгоритм Паркса-Мак-Клиллана).
Метод взвешивания предоставляет очень простой и гибкий способ вычисления коэффициентов КИХ-фильтра, но не позволяет разработчику адекватно управлять параметрами фильтра.
