Вычислим математическое ожидание и дисперсию от 
и 
.
1. 
,
где 
– математическое ожидание генеральной совокупности 
.
2. 
,
где 
– дисперсия генеральной совокупности .
3. 
,
4. 
Здесь 
– теоретический центральный момент 
–го порядка.
Основные распределения математической статистики
Среди всех распределений, существующих в теории вероятностей, выделим те из них, которые часто используются в статистике. Основными такими распределениями являются следующие: нормальное (гауссовское), хи-квадрат, Стьюдента и Фишера-Снедекора. Опишем кратко эти распределения.
Нормальное распределение уже известно из теории вероятностей. Оно является непрерывным с плотностью распределения 
случайной величины 
вида:
, 
,
где 
– это математическое ожидание распределения, а 
– среднее квадратическое отклонение, т.е.
, 
(дисперсия нормального распределения).
Обозначение: ~ 
.
С нормальным распределением связаны несколько новых видов распределений. В первую очередь это распределение 
(хи-квадрат), распределение Стьюдента (
–распределение) и 
–распределение (распределение Фишера-Снедекора). Опишем эти распределения.
Распределение хи-квадрат.
Пусть случайные величины 
, 
, …, 
– независимы, и каждая из них имеет стандартное нормальное распределение, т.е. 
~ 
. Случайная величина 
, определенная как
,
имеет распределение хи-квадрат с 
степенями свободы. Случайная величина принимает только положительные значения и ее плотность распределения 
определяется формулой:
, 
.
где 
есть гамма-функция.
Отметим, что показательное распределение 
с параметром 
будет распределением хи-квадрат с двумя степенями свободы.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины равны:
, 
.
Распределение Стьюдента.
Пусть случайные величины 
, , , …, – независимы, и каждая из них имеет стандартное нормальное распределение, т.е. ~ . Случайная величина 
, определенная как
,
имеет распределение Стьюдента ( -распределение) с степенями свободы. Плотность распределения случайной величины имеет вид:
, .
-распределение симметрично относительно 
.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины равны:
, 
.
При больших -распределение будет близко к стандартному нормальному распределению.
Распределение Фишера.
Пусть 
, 
, …, 
; , …, являются независимыми случайными величинами, каждая из которых распределена по стандартному нормальному закону .
Случайная величина 
, определенная как
,
имеет распределение Фишера ( –распределение) с параметрами и . Натуральные числа и называют числами степеней свободы. –распределение называют еще иногда распределением дисперсионного отношения. Плотность распределения случайной величины имеет следующий вид:
, 
.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины равны:
для 
, 
для 
.
Квантили распределения Фишера порядка 
и 
связаны следующей формулой:
.
