Характеристики выборочного среднего и выборочной дисперсии.

Вычислим математическое ожидание и дисперсию от и .

1. ,

где – математическое ожидание генеральной совокупности .

2. ,

где – дисперсия генеральной совокупности .

3.

,

4.

Здесь – теоретический центральный момент –го порядка.

 

Основные распределения математической статистики

 

Среди всех распределений, существующих в теории вероятностей, выделим те из них, которые часто используются в статистике. Основными такими распределениями являются следующие: нормальное (гауссовское), хи-квадрат, Стьюдента и Фишера-Снедекора. Опишем кратко эти распределения.

Нормальное распределение уже известно из теории вероятностей. Оно является непрерывным с плотностью распределения случайной величины вида:

, ,

где – это математическое ожидание распределения, а – среднее квадратическое отклонение, т.е.

, (дисперсия нормального распределения).

Обозначение: ~ .

С нормальным распределением связаны несколько новых видов распределений. В первую очередь это распределение (хи-квадрат), распределение Стьюдента ( –распределение) и –распределение (распределение Фишера-Снедекора). Опишем эти распределения.

Распределение хи-квадрат.

Пусть случайные величины , , …, – независимы, и каждая из них имеет стандартное нормальное распределение, т.е. ~ . Случайная величина , определенная как

,

имеет распределение хи-квадрат с степенями свободы. Случайная величина принимает только положительные значения и ее плотность распределения определяется формулой:

, .

где есть гамма-функция.

Отметим, что показательное распределение с параметром будет распределением хи-квадрат с двумя степенями свободы.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины равны:

, .

Распределение Стьюдента.

Пусть случайные величины , , , …, – независимы, и каждая из них имеет стандартное нормальное распределение, т.е. ~ . Случайная величина , определенная как

,

имеет распределение Стьюдента ( -распределение) с степенями свободы. Плотность распределения случайной величины имеет вид:

, .

-распределение симметрично относительно .

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины равны:

, .

При больших -распределение будет близко к стандартному нормальному распределению.

 

Распределение Фишера.

Пусть , , …, ; , …, являются независимыми случайными величинами, каждая из которых распределена по стандартному нормальному закону .

Случайная величина , определенная как

,

имеет распределение Фишера ( –распределение) с параметрами и . Натуральные числа и называют числами степеней свободы. –распределение называют еще иногда распределением дисперсионного отношения. Плотность распределения случайной величины имеет следующий вид:

, .

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины равны:

для , для .

Квантили распределения Фишера порядка и связаны следующей формулой:

.