b. Определить погрешность численных методов путем двойного пересчета в произвольной точке.

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

a. Заданную функцию на заданном интервале интерполировать заданным полиномами порядка . (При расчете сохранять пять знаков после запятой)

b. Рассчитать погрешность интерполирования.

c. Определить значение функции в заданной точке, используя интерполяционные формулы заданных порядков, полученных в п. а и погрешности соотвествующих полиномов по формулам, рассчитанным в п. b.

d. Определить значение функции в заданной точке, используя частный случай интерполяционных формул (по таблице конечных разностей для функций с равноотстоящими точками и полноразмерную (используя все узловые точки) формулу Лагранжа для функций с неравноостоящими точками).

Исходные данные:

№ вар.		Интер-вал	шаг	Интерполяционная формула
			самост.	Лагранжа	0.5

 

Решение.

a. Интерполировать таблично заданную функцию полиномами порядка на основе формулы Лагранжа.

Интерполяционная формула Лагранжа:

,

при имеем 3 точки

выберем точки

	0,50000
	1,27015
	1,79193

 

Тогда

При имеем 4 точки

выберем точки

	0,50000
0,4	0,86053
1,5	1,53537
	1,79193

 

Тогда

 

 

При имеем 5 точек

	0,50000
0,3	0,77767
0,8	1,14835
1,5	1,53537
	1,79193

 

Аналогично находим

B. Рассчитать погрешность интерполирования.

Погрешность интерполяционной формулы Лагранжа

,

 

.

Найдем производные

 

C. Определить значение функции в заданной точке, используя интерполяционные формулы заданных порядков, полученных в п. а и погрешности соответствующих полиномов по формулам, рассчитанным в п. b.

,

вычислим погрешность

,

.

аналогично вычисляем

D. Определить значение функции в заданной точке, используя частный случай интерполяционных формул (по таблице конечных разностей для функций с равноотстоящими точками и полноразмерную (используя все узловые точки) формулу Лагранжа для функций с неравноостоящими точками).

По формуле Лагранжа определено значение функции в заданной точке в предыдущем пункте.

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

a. Решить дифференциальное уравнение указанными методами.

b. Определить погрешность численных методов путем двойного пересчета в произвольной точке.

Исходные данные:

№ вар						Метод решения
		-2	-1,5		0,1	Формула Эйлера и Метод Рунге-Кутта

 

Решение.

A. Решить дифференциальное уравнение указанными методами.

1. Формула Эйлера.

.

Согласно выбранному методу

.

и т.д.

Результаты вычислений сведем в таблицу:

	-2,0	3,000	-5,45970
	-1,9	2,454	-5,01633
	-1,8	1,952	-4,60440
	-1,7	1,492	-4,22114
	-1,6	1,070	-3,86292
	-1,5	0,684	-3,52585

 

 

Таким образом, решение ОДУ имеет вид:

-2,0	3,000
-1,9	2,454
-1,8	1,952
-1,7	1,492
-1,6	1,070
-1,5	0,684

 

 

2. Метод Рунге-Кутта.

.

Согласно методу Рунге – Кутта 4-го порядка

,

,

,

,

,

.

Результаты вычислений сведем в таблицу:

	-2	-0,546	-0,524	-0,524	-0,502	-0,524	3,000
	-1,9	-0,502	-0,481	-0,482	-0,461	-0,482	2,476
	-1,8	-0,461	-0,442	-0,442	-0,423	-0,442	1,995
	-1,7	-0,423	-0,405	-0,405	-0,387	-0,405	1,553
	-1,6	-0,387	-0,370	-0,370	-0,353	-0,370	1,148
	-1,5						0,778

 

Таким образом, решение ОДУ имеет вид:

-2,0	3,000
-1,9	2,476
-1,8	1,995
-1,7	1,553
-1,6	1,148
-1,5	0,778

 

 

b. Определить погрешность численных методов путем двойного пересчета в произвольной точке.

Вычислим значения с шагом .

1. Формула Эйлера.

-2,0	3,000	3,000
-1,9	2,454	2,465
-1,8	1,952	1,974
-1,7	1,492	1,523
-1,6	1,070	1,109
-1,5	0,684	0,731

 

Погрешность расчета в точке

.

 

2. Метод Рунге-Кутта.

-2,0	3,000	3,000
-1,9	2,476	2,476
-1,8	1,995	1,995
-1,7	1,553	1,553
-1,6	1,148	1,148
-1,5	0,778	0,778

 

Погрешность расчета в точке

.