Тесты для проверки остаточных знаний.

Задания под пунктом а) для первого варианта, под пунктом б) -для второго варианта

 

ПРИМЕРЫ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ

Задания приводятся в той форме, которую студенты видят на экране ком­пьютера во время проведения тестирования. Слева от вертикальной черты расположены условия заданий, справа — варианты ответа. Правильный ва­риант (или варианты) ответа отмечен точкой. Некоторые тестовые задания требуют от студента ввести ответ или расставить соответствия между мате­матическими объектами, стоящими справа и слева от вертикальной черты.

Задание 1.

Укажите график периодической функции.

Задание 2.

Дана функция

+ lg (x+3)

Тогда ее областью определения яв­ляется.

Задание 3

 

 

По формулам Крамера решить систему:

 

а) а) (1;-1;2) б)(3:-3:5) в)(-1;2;4)

б) а) (1;-1;2) б)(-3:-3:1) в)(-1;2;4)

 

Задание 4

 

Методом Гаусса решить систему:

 

а) а) (-1;2;1) б)(3:-3:5) в)(-1;2;4)

б) а) (1;-1;2) б)(-3:-3:1) в)(-1;2;4)

 

 

Задание 5.

а) Если , то =…

1) ; 2)7; 3) –1; 4) .

б)Если , то =…

1) ; 2)3; 3) –4; 4) .

 

Задание 6

 

а) Даны векторы ,

 

Их скалярное произведение равно: 1) ;2)7; 3) 11; 4) .

 

 

в)

Их скалярное произведение равно: 1) ; 2)7; 3) –11; 4) .

 

Задание 7

а) В треугольнике с вершинами , ,

длина высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ составит:

 

 

в) В треугольнике с вершинами , ,

длина высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ составит:

 

 

 

Задание 8

 

 

Предел функции равен:

 

а) 1. б) 1.

2. 2.

 

А)в) 1. 1) 2; 2) 1/4; 3) 8/5; 4)0.5

2. 1)4; 2) 2; 3) -3 4) 0

Задание 9

Точками экстремума функций

а) y=x являются: а) -1; 2 б) 3; 1 в) -3; 2

 

б)y=x являются: а) 4; 2 б) 3: -3 в) 1; 2

Задание 10

 

а) Угловой коэффициент прямой 6 x + 2 y – 5 = 0 равен …

1) 3 2) −6 3) 2 4) −3.

в) Угловой коэффициент прямой 6 x + 3 y – 2 = 0 равен …

1) 3 2) −6 3) -2 4) −3.

 

 

) Задание 11

 

а) Координата x ₀ точки А (х ₀; 1; 7), принадлежащей плоскости 5 x + y – z + 1 = 0, равна …

1) 4; 2) 1; 3) 3; 4) 2.

б) Координата x ₀ точки А (х ₀; 1; 7), принадлежащей плоскости 3 x - y +3 z + 1 = 0, равна …

1) 4; 2) -7; 3) 3; 4) 2.

 

 

) Задание 12

 

 

а)Производная функции имеет вид …

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

 

. б) Производная произведения xe^x равна …

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

) Задание 13

 

а) В урне 4 белых и 6 черных шаров. Из урны вынимают сразу 2 шара.

Вероятность того, что шары разного цвета, равна...

1) 8/15; 2) 1; 3) 3/5; 4) 1/24.

,

б) Два стрелка производят по одному выстрелу. Вероятности попадания в цель для первого и ВТО рого стрелков равны 0,6 и 0,3 соответственно. Тогда вероятность того, что в цель попадут оба стрелка, равна…

1) 0,28; 2) 0,15; 3) 0,9; 4) 0,18.

) Задание 14

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

 

а)

б)

 

) Задание 15

Вычислить а ) б) и оценить погрешность вычисления

 

) Задание 16

Решить дифференциальное уравнение при

а)

б)

Критерии оценки:

 

- оценка «отлично» выставляется студенту, если выполнено верно 90% работы;

- оценка «хорошо», если выполнено 70% работы;

- оценка «удовлетворительно», если выполнено 50% работы;

- оценка «неудовлетворительно», если выполнено менее 50% работы;

- оценка «зачтено» выставляется студенту, если выполнено более 50% работы;

- оценка «не зачтено» если выполнено менее 50% работы.

 

Составитель ________________________ И.С. Жукова (подпись) «__»_______________20 16 г.

 

 

 

 

Решение задач:

 

 

1. Вычислить главный определитель системы уравнений, решить систему методом Крамера, Гаусса и обратной матрицы

 

 

 

2.Определить максимальное число линейно независимых строк матрицы:

а)

5 -1 4 2 1

-1 2 1 5 6

3 -5 2 -8 -11

2 4 2 10 12

 

б)

10 24 20 -44 -10

2 3 6 12 17

5 10 -10 10 25

 

 

4. Методом Гаусса решить систему:

 

а)

 

а)

 

7. Найти общее решение системы линейных уравнений:

 

а)

 

б)

 

8. Дана матрица прямых затрат А. Найти изменение векторов:

а) конечного продукта при данном изменении вектора валового продукта

б) валового выпуска при необходимом изменении вектора конечного продукта .

 

а)

б)

 

 

3.а) Даны векторы , .

Найти скалярное произведение векторов.

б) Если , тогда скалярное произведение равно …

1) 3; 2) 5; 3) 0; 4) 7.

4. а)Угловой коэффициент прямой 6 x + 2 y – 5 = 0 равен …

1) 3; 2) −6; 3) 2; 4) −3.

б) Уравнение линии на рисунке имеет вид…

 

1) x = −2 y; 2) 2 x − y + 2 = 0; 3) y = −2 x − 2; 4) y ² = − x + 2.

 

5.Найти углы и площадь треугольника с вершинами. Найти длину высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ.

:

а)А(1;-3) В(9;3) С(-2;6)

б) А(1;-3) В(9;3) С(-2;6)

6.Найти объем пирамиды, построенной на векторах АВ АС АД, если координаты точек:

а) А(4;3;2) В(3;2;8) С(2;5;4) Д(4;2;7)

б) А(1;-3;2) В(9;3;-8) С(-2;6;-4) Д(7;-2;7)

7. Даны четыре вектора a₁, a₂, a₃ и b в некотором базисе. Показать, что векторы a₁, a₂, a₃ образуют базис, и найти координаты вектора b в этом базисе:

а) a₁=(3;-5;2)

a₂=(4;5;1)

a₂=(-3;0;-4)

b=(-4;5;-16) б)

a₁=(3;-5;2)

a₂=(4;5;1)

a₂=(-3;0;-4)

b=(-4;5;-16)

8. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки:

а) А(1;-3;2) В(9;3;-8) С(-2;6;-4)

б) А(1;-3;2) В(9;3;-8) С(-2;6;-4)

9.Вычислить пределы

а)

 

 

б) ;	;
;	.

10. Найти производные следующих функций: а)

б)

11. Составить уравнение касательных к графику функции:

а)

проходящих через точку М(2;-2)

б)

 

12.Вычислить приближенно с помощью дифференциала:

а)

б)

13.Построить график функций:

а) y=

б) y=

14.Найти асимптоты к графику функции:

а) б)

 

15. Вычислить неопределенный интеграл:

 

 

а

б

 

1 Вычислить определенные интегралы:

а)

 

б)

 

 

 

15. Найти площадь фигуры ограниченной линиями:

 

 

 

16. Найти частные производные функции:

 

а) z=e

б) z=xe

19. Найти градиент функции в точке

 

а)Найти градиент функции в точке М(1;-1;2)

 

U=

 

б)Найти градиент функции в точке М(3;2;1)

 

U=4-x²-y²-z²

 

17. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится):

а)

 

б)

 

18.. Исследовать сходимость рядов:

 

а)

б)

 

19. Выяснить, сколько членов ряда надо взять, чтобы вычислить его сумму с точностью до 0,0001:

 

а) б)

 

 

20. Разложить в степенной ряд по степени х функции:

 

а)у = е

б)у = sin

 

21. Разложить в степенной ряд функции:

а) Y= lnx по степеням (x-1)

б) y= x⁴+ x² по степеням (x-1)

22. Применяя почленное интегрирование или дифференцирование рядов найти их суммы:

а)x- - + x

б)1+2x+3x²+4x³+ x

 

23. Исследовать на экстремум функцию z=f (x,y)

а) z=3x+3y-x -xy-y +6

б)z=7x+8y-x -xy-y -10

в) z=8x-4y+x -xy+y +15

г) z=x +y -6x-8y+12

 

24. Найти частные производные функции:

 

а) z=e

б) z=xe

 

25. Исследовать функции на условный экстремум:

 

1)Z=x²+y²-xy+x+y-4 при x+y+3=0

2)Z=2x+y при x²+y²=5

 

 

1. Заданы производственная функция, цены на единицу первого и второго ресурсов, а также ограничения I в сумме, которая может быть потрачена на приобретение ресурсов (сумма . Найти значения величин используемых ресурсов (x;y), при которых фирма- прозводитель получит наибольшую прибыль:

К(x;y)=10 p₁₌2, p₂=4, I =12

2. Потребитель имеет возможность потратить сумму 1000 ден. ед. на приобретение x единиц превого товара и y единиц второго товара. Заданы функция полезности U

(x;y) и цены p₁, p₂ за единицу соответветственно первого второго товаров. Найти значения (x;y), при которых полезность для потребителя будет наибольшей:

U =0,5 ln(x-2)+8ln(y-1) p₁=0,6, p₂=10

3. Функция полезности имеет вид:

U (x;y)=ln(x-1)+ ln(y-2), где x,количества приобретенных единиц 1-го и 2-го блага. Найти частные эластичности функции полезности по переменным x и y и пяснить их смысл.

4. Изготовление некоторой продукции в производственном объединении можно осуществить двумя технологическими способами. При 1-м способе изготовление x₁ изделий требует затрат, равных 4+3x₁+5x₁ руб,а при 2-м способе затраты на изготовление x₂ изделий составляют 7+6x₂ +3x₂ руб.Составить план производства продукции, согласно которому должно быть произведено 500 изделий при наименьших общих затратах.

 

 

26. Определить максимальное значение функции f=2x+4y- x²-2 y² при условиях:

27. а)В первом ящике 6 шаров: 1 белый,3 красных и 2 синих. Во втором ящике 12 шаров: 2 белых, 6 красных, 4 синих. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что среди них нет синего шара.

б) Из заготовленной для посева пшеницы зерно первого сорта составляет 40%, второго сорта-50%,третьего сорта-10%. Вероятность того, что взйдет зерно первого сорта равна 0,8,второго-0,5, третьего-0,3. Найти вероятность того,что взойдет наугад взятое зерно.

28. а)Событие В наступает в том случае, если событие А появится не менее трех раз. Определить вероятность появления события В, если вероятность появления события А при одном опыте равна 0,4 и произведено 4 независимых опыта.

б)Вероятность падания в цель при одном выстреле равна 0,8. написать закон распределения вероятностей попаданий в цель пи 5 выстрелах.

29. а) Бросаются три игральные одинаковые кости. Найти вероятность того, что хотя бы на одной кости выпадет 6 очков.

б)Самолет сбрасывает 4 авиационные бомбы. Вероятность попадания 0,75.Найти вероятность попадания хотя бы одной бомбы.

30. а)Норма высева семян на 1 га равно 200 кг. Фактический расход семян на 1 га колеблется около этого значения со средним квадратическим отклонением 10 кг. Определить количество семян, обеспечивающих посев на площади 100 га с гарантией 0,95.

б)Всхожесть семян пшеницы составляет 90%. Определить наиболее вероятное число всходов из 200 посеянных семян.

31. а) Масса яблока, средняя величины которой равна 150 г, является нормально распределенной случайной величиной со средним квадратическим отклонением 20 г. Найти вероятность того, что масса наугад взятого яблока будет заключена в пределах от 130 г до 180 г.

б) Средний вес зерна составляет 0,2 г., среднеквадратическое отклонение равно 0,05 г. Определить вероятность того,что вес наудачу взятого зерна окажется в пределах от 0,16г. до 0,22г.

 

32. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения F(х). найти: 1)дифференциальную функцию распределения f(х); 2) математическое ожидание М(Х); 3)дисперсию D(Х).

X -4 -3 -2 0 1

P 0,1 0,1 0,5 0,2 0,1

 

X 50 48 51 53

P 0,3 0,2 0,2 0,3

 

33. Заданы результаты обследования. Требуется: 1)получить вариационный ряд и построить гистограмму относительных частот; 2)вычислить выборочную среднюю , дисперсию , среднее квадратичное отклонение s, коэффициент вариации v, ошибку средней s ; 3) с надежностью 95% указать доверительный интервал для оценки генеральной средней .

Обследованию по весу (кг.) 15кроликов. Результаты обследования представлены в таблице

№наблюдения 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

а) 3,1 4,2 5,0 4,6 6,4 5,3 3,8 5,1 4,9 5,4 5,4 5,9 4,9 4,7 4,8

 

б) 5,.5 4,8 4,9 4,5 5,7 5,3 5,2 4,7 4,8 4,9 5,1 5,0 4,7 4,3 4,6

34. Приводятся данные о весе зерна в мг. (X) и процентным содержанием жира в нем (y). Вычислить коэффициент корреляции и найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X.

 

а)

X 35 40 45 48 49 47 45 40 36 35

Y 4 5 6 7 7 6 8 8 4 5

б)

X 38 41 44 45 50 51 49 40 39 33

Y 3 9 8 5 5 7 6 9 4 4

 

 

35. Проведено по пять испытаний на каждом из четырех уровней фактора Ф. Результаты испытаний приведены в таблице. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних.

а)

Номер измерения	Уровни фактора
Ф	Ф	Ф

 

б)Проведено по пять испытаний на каждом из четырех уровней фактора Ф. Результаты испытаний приведены в таблице. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних.

 

Номер измерения	Уровни фактора
Ф	Ф	Ф	Ф