Если в проводящей среде выделить некоторый объем, по которому протекает постоянный, не изменяющийся во времени ток, то можно сказать, что ток, который войдет в объем, должен равняться току, вышедшему из него, иначе в этом объеме происходило бы накопление зарядов, что не подтверждается опытом. Сумму входящего в объем и выходящего из объема токов записывают так:
Равенство останется справедливым, если обе его части разделить на объем:
Очевидно, что последнее соотношение будет справедливо и в том случае, если объем, находящийся внутри замкнутой поверхности, устремить к нулю:
Таким образом, для постоянного, неизменного во времени поля в проводящей среде
| (42.6) |
Это соотношение называют первым законом Кирхгофа в дифференциальной форме. Оно означает, что в установившемся режиме в любой точке поля нет ни истока, ни стока линий тока проводимости.
Уравнение Лапласа для электрического поля в
Проводящей среде
Напряженность электрического поля в проводящей среде, как и в электростатическом поле, 
.
В неизменном во времени поле
| (42.7) |
Если среда однородна и изотропна (γ =const), то 
можно вынести за знак дивиргенции и, следовательно,
| (42.8) |
или
 .
| (42.9) |
Таким образом, поле в однородной проводящей среде подчиняется уравнению Лапласа. Поле постоянного тока в проводящей среде является полем потенциальным. В нем, в областях, не занятых источниками, 
6. Переход тока из среды с проводимостью γ 1 в среду с
проводимостью γ 2. Граничные условия
Выясним, какие граничные условия выполняются при переходе тока из среды с одной проводимостью в среду с другой проводимостью.
Возьмем на границе раздела сред – линия 00 (рис. 42.2) замкнутый контур 1234. Составим циркуляцию вектора 
вдоль этого контура. Стороны 12 и 34 его весьма малы по сравнению со сторонами 23 и 41 (длину последних обозначим dl).
Так как 
вдоль любого замкнутого контура равен нулю, то он равен нулю и для контура 12341.
В силу малости отрезков 12 и 34 пренебрежем составляющими интеграла вдоль этих путей и тогда
 или  ,
| (42.10) |
т.е. на границе раздела равны тангенциальные составляющие напряженности поля.
На границе раздела равны нормальные составляющие плотностей токов. Докажем это.
 |
На границе раздела выделим сплющенный параллелепипед (рис. 42.3,а). Поток вектора
, втекающий в объем через нижнюю грань, равен 
; поток вектора , вытекающий из объема через верхнюю грань 
. Так как 
, то
  ;  .
| (42.11) |
Следовательно, при переходе тока из среды с одной проводимостью в среду с другой проводимостью непрерывна тангенциальная составляющая вектора 
, то есть 
(но 
), и непрерывна нормальная составляющая плотности тока (но 
).
Отсюда следует, что полные значения вектора и вектора 
в общем случае меняются скачком на границе раздела.
Найдем связь между углом падения 
и углом преломления 
. В соответствии с рис. 42.3,б:
 ; 
или
 .
| (42.12) |
Если ток переходит из среды с большой проводимостью (например, из металла) в среду с малой (например, в землю), то тангенс угла преломления 
меньше тангенса угла падения и, следовательно, угол меньше угла . Если 
весьма мало, то угол 
.
Вопросы для самоконтроля
1. Какой ток называют током проводимости, а какой – током смещения?
2. Как связаны вектор плотности тока и ток?
3. Проделайте вывод закона Ома в дифференциальной форме.
4. Что понимают под сторонней напряженностью электрического поля?
5. Почему уравнение 
называют обобщенным законом Ома, а также вторым законом Кирхгофа?
6. Проделайте вывод первого закона Кирхгофа в дифференциальной форме и поясните его физический смысл.
7. Получите выражение для закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.
8. Докажите, что электрическое поле в проводящей среде подчиняется уравнению Лапласа.
9. Сформулируйте условия на границе раздела двух сред с разной удельной проводимостью.
