Задание 2.1
Вычислить неопределенные интегралы.
| 2.1.1 | а)  ;
| в)  ;
|
б)  ;
| г)  .
| |
| 2.1.2 | а)  ;
| в)  ;
|
б)  ;
| г)  .
| |
| 2.1.3 | а)  ;
| в)  ;
|
б)  ;
| г)  .
| |
| 2.1.4 | а)  ;
| в)  ;
|
б)  ;
| г)  .
| |
| 2.1.5 | а)  ;
| в)  ;
|
б)  ;
| г)  .
| |
| 2.1.6 | а)  ;
| в)  ;
|
б)  ;
| г)  .
| |
| 2.1.7 | а)  ;
| в)  ;
|
б)  ;
| г)  .
| |
| 2.1.8 | а)  ;
| в)  ;
|
б)  ;
| г)  .
| |
| 2.1.9 | а)  ;
| в)  ;
|
б)  ;
| г)  .
| |
| 2.1.10 | а)  ;
| в)  ;
|
б)  ;
| г)  .
|
Задание 2.2
Вычислить несобственный интеграл, или доказать его расходимость.
| 2.2.1 |  .
|
| 2.2.2 |  .
|
| 2.2.3 |  .
|
| 2.2.4 |  .
|
| 2.2.5 |  .
|
| 2.2.6 |  .
|
| 2.2.7 |  .
|
| 2.2.8 |  .
|
| 2.2.9 |  .
|
| 2.2.10 |  .
|
Задание 2.3
Требуется вычислить площадь области, ограниченной линиями. Сделать чертеж.
2.3.1 
.
2.3.2 
.
2.3.3 
.
2.3.4 
.
2.3.5 
.
2.3.6 
.
2.3.7 
.
2.3.8 
.
2.3.9 
.
2.3.10 
.
Задание 2.4
Решить дифференциальные уравнения первого порядка. В уравнении а) найти общий интеграл, в уравнении б) найти частное решение.
| 2.4.1 | а) 
| б) 
|
| 2.4.2 | а) 
| б) 
|
| 2.4.3 | а) 
| б) 
|
| 2.4.4 | а) 
| б) 
|
| 2.4.5 | а) 
| б) 
|
| 2.4.6 | а) 
| б) 
|
| 2.4.7 | а) 
| б) 
|
| 2.4.8 | а) 
| б) 
|
| 2.4.9 | а) 
| б) 
|
| 2.4.10 | а) 
| б) 
|
Задание 2.5
Решить дифференциальные уравнения второго порядка:
2.5.1 
.
2.5.2 
.
2.5.3 
.
2.5.4 
.
2.5.5 
.
2.5.6 
.
2.5.7 
.
2.5.8 
.
2.5.9 .
2.5.10 
.
Задание 2.6
Решить систему дифференциальных уравнений.
| 2.6.1 | 
| 2.6.2 | 
|
| 2.6.3 | 
| 2.6.4 | 
|
| 2.6.5 | 
| 2.6.6 | 
|
| 2.6.7 | 
| 2.6.8 | 
|
| 2.6.9 | 
| 2.6.10 | 
|
Задание 2.7
Решить задачу.
2.7.1 Студент разыскивает нужную ему формулу в трёх справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, во втором и в третьем справочниках соответственно равны: 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что нужная формула окажется: а) только в одном справочнике; б) хотя бы в одном справочнике; в) во всех справочниках.
2.7.2 Игорь посадил 3 дерева. Вероятность того, что деревья приживутся, соответственно равны: для первого дерева – 0,9; для второго – 0,7; для третьего – 0,6. Найти вероятность того, что приживутся: а) только одно дерево; б) хотя бы одно дерево; в) все деревья.
2.7.3 На искусственном спутнике Земли установлено два различных прибора для измерения одной и той же величины. Для первого вероятность его безотказной работы в течение месяца равна 0,9; для второго – 0,7. Определить вероятности следующих событий: а) все приборы выйдут из строя в течении месяца; б) один прибор выйдет из строя; в) ни один прибор не выйдет из строя.
2.7.4 Покупатель ищет необходимую ему вещь, обходя три магазина. Вероятность наличия в магазине №1 равна 0,2; в магазине №2 – 0,3; в магазине №3 – 0,1. Какова вероятность того, что нужная вещь найдется: а) только в одном магазине; б) хотя бы в одном магазине; в) во всех магазинах.
2.7.5 Петя купил по одному лотерейному билету трех различных лотерей. Вероятности хоть какого-либо выигрыша в этих лотереях соответственно равны: 0,2; 0,3; 0,25. Найти вероятность того, что у Пети: а) все билеты выигрышные; б) только один билет выигрышный; в) хотя бы один билет выигрышный.
2.7.6 Производится по одному выстрелу из трех орудий. Вероятности попадания в цель для первого орудия – 0,25, для второго – 0,8, для третьего – 0,4. Найти вероятность попадания в цель: а) только двумя орудиями; б) хотя бы одним орудием; в) всеми орудиями.
2.7.7 В студии 3 телекамеры. Для первой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,7; для второй – 0,8; для третьей – 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент: а) включены все камеры; б) включена только одна камера; в) включена хотя бы одна камера.
2.7.8 Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок остановится, равна 0,3; второй – 0,4; третий – 0,7; четвертый – 0,4. Найти вероятность того, что в течение часа: а) хотя бы один станок будет работать без остановок; б) остановится только один станок.
2.7.9 Четыре стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в «десятку» для первого стрелка равна 0,7; для второго – 0,8; для третьего – 0,6, для четвертого – 0,9. Какова вероятность того, что при одновременном залпе: а) в «десятку» попадет только один стрелок; б) хотя бы один попадет в «десятку».
2.7.10 Из аэровокзала отправились два автобуса к трапу самолёта. Вероятность своевременного прибытия каждого автобуса равна 0,95. Найти вероятность того, что: а) оба автобуса придут вовремя; б)только один автобус придёт вовремя; в) хотя бы один автобус придёт вовремя.
Задание 2.8
Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Необходимо: 1) построить полигон распределения; 2) найти функцию распределения F (x) и построить ее график; 3) найти числовые характеристики случайной величины Х (математическое ожидание М (Х), дисперсию D (Х) и среднее квадратическое отклонение σ (Х)).
| 2.8.1 |
| 2.8.2 |
| ||||||||||||||||||||
| 2.8.3 |
| 2.8.4 |
| ||||||||||||||||||||
| 2.8.5 |
| 2.8.6 |
| ||||||||||||||||||||
| 2.8.7 |
| 2.8.8 |
| ||||||||||||||||||||
| 2.8.9 |
| 2.8.10 |
|
Задание 2.9
Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией распределения F (x). Требуется найти:
а) дифференциальную функцию f (x) (плотность вероятности)
б) математическое ожидание М (Х)
в) дисперсию D (Х) и среднее квадратическое отклонение σ (Х)
г) вероятность попадания заданной случайной величины Х в данный интервал, т.е. P(α<X<β).
Построить на разных чертежах графики интегральной и дифференциальной функций распределения.
| 2.9.1 | 
|
| 2.9.2 | 
|
| 2.9.3 | 
|
| 2.9.4 | 
|
| 2.9.5 | 
|
| 2.9.6 | 
|
| 2.9.7 | 
|
| 2.9.8 | 
|
| 2.9.9 | 
|
| 2.9.10 | 
|
Задание 2.10
Из генеральной совокупности извлечена выборка. Данные наблюдений сведены в группы и представлены в виде дискретного вариационного ряда, где первая строка – середины частичных интервалов 
, вторая строка – соответствующие им частоты 
. Требуется выполнить статистическую обработку экспериментальных данных по следующей схеме:
а) Построить выборочную (эмпирическую) функцию распределения 
.
б) Построить полигон и гистограмму относительных частот.
в) Найти числовые характеристики выборки: выборочную среднюю 
, выборочное среднее квадратическое отклонение 
, исправленное среднее квадратическое отклонение 
.
г) Сделать предварительный выбор закона распределения по виду гистограммы и полигона относительных частот.
д) Проверить с помощью критерия согласия Пирсона гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокупности при уровне значимости 
.
е) В случае принятия гипотезы о нормальном законе распределения найти интервальные оценки параметров нормального распределения (доверительную вероятность принять равной 
).
Вычисления проводить с точностью до 0,001.
2.10.1
| xi | ||||||||
| ni |
2.10.2
| xi | -2 | |||||||
| ni |
2.10.3
| xi | -1 | |||||||
| ni |
2.10.4
| xi | -6 | -3 | ||||||
| ni |
2.10.5
| xi | -4 | -2 | ||||||
| ni |
2.10.7
| xi | ||||||||
| ni |
2.10.7
| xi | -3 | |||||||
| ni |
2.10.8
| xi | -2 | |||||||
| ni |
2.10.9
| xi | -3 | -1 | ||||||
| ni |
2.10.10
| xi | ||||||||
| ni |
Библиографический список
1. Бугров Я.С., Никольский С. M. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. -M.: Дрофа, 2004.- 432 с.
2. Бугров Я.С., Никольский С. M. Задачник. М., Физматлит, 2001. – 254 с.
3. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Юрайт, 2013. - 416 с.
4. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Юрайт, 2013.- 480 с.
5. Данко П. Е., Попов А. П., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.ч.1.- М.: Оникс. 2008.–416 с.
6. Данко П. Е., Попов А. П., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.ч.2.- М.: Оникс. 2008.–464 с.
7. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов. t. 1.- М.: Интеграл-Пресс, 2008.- 430 с.
8. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов. т. 2.- М.: Интеграл-Пресс, 2008.- 544 с.
9. Щипачёв В. С. Основы высшей математики. -M.: Высшая школа, 2002. - 480 с.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1.
