Прямоуг. декартовы координаты на плоскости и в пространстве.

Матричный метод и метод Крамера решения систем линейных уравнений.

Линейным алгебраическим уравнением называют уравнение, содержащее переменную только в первой степени и не имеющее произведений переменных. При решении систем линейных уравнений используются определители и матрицы.

Пусть дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

2.1. Метод Крамера

Введем определитель системы - и дополнительные определители:

, , .

Если определитель системы , то система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:

, , .

Ранее рассмотренный метод Крамера можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Теорема Кронекера-Капелли: Для того, чтобы неоднородная система линейных алгебраических уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы совпадал с рангом матрицы системы.

Однородная система уравнений всегда совместна, так как имеет нулевое решение . Ненулевые решения она имеет тогда и только тогда, когда .

Метод Гаусса.

Метод Крамера можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Метод Гаусса: Процедура решает неоднородную систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

a₁₁ x₁+a₁₂ x₂+...+a_1n x_n=a_1n+1

a₂₁ x₁+a₂₂ x₂+...+a_2n x_n=a_2n+1

a_n1 x₁+a_n2 x₂+...+a_nn x_n=a_nn+1

Вначале находим отличный от нуля коэффициент при x₁. Соответствующее уравнение переставляем с первым (если это необходимо). Получаем систему с a₁₁ отличным от нуля. Разделив коэффициенты этого уравнения на a₁₁, получим:

x₁+b₁₂ x₂+...+b_1n x_n=b_1n+1

При помощи этого уравнения исключаем x₁ из исходной системы:

a⁽¹⁾₂₂ x₂+a⁽¹⁾₂₃ x₃+...+a⁽¹⁾_2n x_n=a⁽¹⁾_2n+1..

a⁽¹⁾_n2 x₂+a⁽¹⁾_n3 x₃+...+a⁽¹⁾_nn x_n=a⁽¹⁾_nn+1

где a⁽¹⁾_{i j}=a_{i j}-a_{i 1}b_{1 j}, i,j= 2...n

Полученная система содержит n-1 уравнение. Применяем описанную выше процедуру к этой системе. Операции повторяем требуемое число раз, пока не приведем систему к треугольному виду:

x₁+с₁₂ x₂+...+с_1n x_n=с_1n+1

x₂+...+c_2n x_n=c_2n+1

x_n=c_nn+1

Теперь легко определить x_n,x_n-1,..., x₁.

Если det(A)=0, то исходная система не имеет решений и процедура выдает S =0 иначе S =1 и решения находятся в массиве X.

 

Координаты на прямой.

Рассмотрим прямую . Отрезок, огранич-й точками А и В, наз-ся направленным отрезком, или вектором, если указано, какая из данных точек явл. началом, а какая – концом. Направление отрезка – направление от начала к концу. Направл-й отрезок с началом в точке А и концом в точке В обознач-ся . Две различ. Точки А и В опред-т два направл. Отрезка и . Если точки А и В совпадают, отрезок АА нулевой, который не имеет опред-го направления. Величина направл-го отрезка - его длина, взятая со знаком +, когда направление этого отрезка совпадает положит. направлением оси, и со знаком -, когда совпадает с отрицат. направлением оси: АВ= -АВ.

При любом расположении точек А, В, С на оси , величины направленных отрезков , , связаны соотношением: АВ+ВС=АС, кот. называется основным тождеством. Из последнего равенства получаем АС=АВ-СВ=АВ+ВС, АВ+ВС=АС, т.е. равенство выполняется.

 

Прямоуг. декартовы координаты на плоскости и в пространстве.

В плоскости проведём две взаимно перпенд-е координатные оси: горизонт-ю O_x (ось абсцисс) и вертик-ю O_y (ось ординат). Точку О назовём началом координат. Если Е₁ и Е₂ – единичные точки координатных осей, то |OE₁|=|OE₂|=1.

Пусть дана произвольная точка М в плоскости. Проведём через точку М прямую, паралл-ю координ-й оси О_у, точку пересечения этой прямой с осью О_х обозначим через М_х, проведём через М также прямую, паралл-ю оси О_х, до пересечения с осью О_у в точке М_у.

Декартовыми прямоуг. координатами точки М на плоскости наз-ся числа, опред-е формулами: х=ОМ_х, у=OM_y, где ОМ_х, ОМ_у – величины направленных отрезков ОМ_х, ОМ_у. Координатные оси разбивают на 4 части. Каждая из этих частей наз-ся координатной четвертью или квадрантом.