Декартово произведение множеств, его свойства.

Используя две цифры, например, 3 и 5, можно записать четыре двузначных числа: 35, 53, 33 и 55. Несмотря на то, что числа 35 и 53 записаны с помощью одних и тех же цифр, эти числа различные. В том случае, когда важен порядок следования элементов, в математике говорят об упорядоченных наборах элементов. В рассмотренном примере мы имели дело с упорядоченными парами.

Упорядоченную пару, образованную из элементов a и b, принято записывать, используя круглые скобки: (a;b). Элементa называют первой координатой (компонентой) пары, а элемент b– второй координатой (компонентой) пары.

Пары (а; b) и (с; d) равны в том и только том случае, когда а = с иb=d.

В упорядоченной паре (а; в) может быть, что а = в. Так, запись чисел 33 и 55 можно рассматривать как упорядоченные пары (3; 3) и (5; 5).

Упорядоченные пары можно образовывать как из элементов одного множества, так и двух множеств.

Пример

Даны множества А={1,2,3}, В={3,5}. Образовать упорядоченные пары так, чтобы первая компонента принадлежала множеству А, а вторая – множеству В.

Перечислив все такие пары, получим множество: {(1; 3), (1; 5), (2; 3), (2; 5), (3;3), (3;5)}.

Видим, что имея два множества А и В, мы получили новое множество, элементами которого являются упорядоченные пары чисел. Это множество называют декартовым произведением множеств А и В.

Определение. Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В.

Декартово произведение множеств А и В обозначают А´B. Используя это обозначение, определение произведения можно записать так:

A´B={(х; у) | х ÎA и у Î B}.

Пример

Найти декартово произведение множеств А и В, если:

а) А = {m, p}, B={e, f, k}; b) A = B={3, 5}.

Решение. а) Действуем согласно определению – образуем все пары, первая компонента которых выбирается из А, а вторая – из В: А ´ B = {(m; p); (m; f); (m; k); (p; e); (p; f);(p; k)}.

b) Декартово произведение равных множеств находят, образуя всевозможные пары из элементов данного множества: А ´ А = {(3; 3); (3; 5); (5; 3); (5; 5)}.

2. Свойства операции нахождения декартова произведения

1. Так как декартовы произведения А´B и В´А состоят из различных элементов, то операция нахождения декартова произведения множеств свойством коммутативности не обладает.

2. Аналогично рассуждая, можно доказать, что для этой операции не выполняется и свойство ассоциативности.

3. Но она дистрибутивна относительно объединения и вычитания множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняются равенства:

(AÈB) ´ С = (A ´ С) È (B ´ С), (A \ B) ´ С = (A ´ С) \ (B ´ С).

Пример

Проверьте справедливость свойства дистрибутивности декартова произведения относительно объединения, если: А = {3; 4; 5}, В = {5; 7}, С = {7; 8}.

Решение. Найдем объединение множеств А и В: AÈB = {3; 4; 5;7}. Далее перечислим элементы множества (AÈB) ´ С, используя определение декартова произведения: (AÈB) ´ С = {(3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8)}.

Чтобы найти элементы множества (A ´ С) È (B ´ С), перечислим сначала элементы множеств А ´ С и В ´ С:

А ´ С = {(3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8)}

В ´ С = {(5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8)}.

Найдем объединение полученных декартовых произведений:

(A ´ С) È (B ´ С) = {(3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8)}.

Видим, что множества (AÈB) ´ С и (A ´ С) È (B ´ С) состоят из одних и тех же элементов, следовательно, для данных множеств А, В и С справедливо равенство (AÈB) ´ С = (A ´ С) È (B ´ С).

Выясним теперь, как можно наглядно представить декартово произведение множеств.

· Если множества А и В конечны и содержат небольшое число элементов, то можно изобразить декартово произведение этих множеств при помощи таблицы или графа.

Пример

Д екартово произведение множеств А ={1; 2; 3} и В = {3; 5} можно представить так, как показано на рисунке 1 и 2

	(1,3)	(1,5)
	(2,3)	(2,3)
	(3,3)	(3,3)

Рис. 1

· Декартово произведение двух числовых множеств (конечных и бесконечных) можно изображать на координатной плоскости, так как каждая пара чисел может быть единственным образом изображена точкой на этой плоскости.

Способ наглядного представления декартова произведения двух числовых множеств удобно использовать в случае, когда хотя бы одно из них бесконечное.

Пример

Изобразите на координатной плоскости декартово произведение A ´ В, если:

а) А = {1; 2; 3} и В = [3; 5];

б) А = [1; 3], В = [3; 5];

в) А = R, В = [3; 5];

г) А = R, В =R.

Решение

а) Так как множество А состоит из трех элементов, а множество В содержит все действительные числа о т 3 до 5, включая и сами эти числа, то декартово произведение A ´ В будет состоять из бесконечного множества пар, первая компонента которых либо 1, либо 2, либо 3, а вторая – любое действительное число из промежутка [3; 5]. Такое множество пар действительных чисел на координатной плоскости изобразится тремя отрезками.

у

1 2 3 х

б) В этом случае бесконечны оба множества А и В. Поэтому первой координатой может быть любое число из промежутка [1; 3], и, следовательно, точки, изображающие элементы декартова произведения данных множеств А и В, образуют квадрат. Чтобы подчеркнуть, что элементы декартова произведения изображаются и точками, лежащими внутри квадрата, этот квадрат можно заштриховать.

у

1 2 х

в) Этот случай отличается от предыдущих тем, что множество А состоит из всех действительных чисел, т.е. абсцисса точек, изображающих элементы множества A ´ В, принимает все действительные значения, в то время как ордината выбирается из промежутка [3; 5]. Множество таких точек образует полосу.

y

х

г) Декартово произведение R´R состоит из всевозможных действительных чисел. Точки, изображающие эти пары, сплошь заполняют координатную плоскость. Таким образом, декартово произведение R´R содержит столько же элементов, сколько точек находится на координатной плоскости.

В математике и других науках рассматривают не только упорядоченные пары, но и упорядоченные наборы из трех, четырех и т.д. элементов. Например, запись числа 367 – это упорядоченный набор из трех элементов, а запись слова «математика» – это упорядоченный набор из 10 элементов.

Понятие кортежа.

Упорядоченные наборы часто называют кортежами и различают по длине. Длина кортежа – это число элементов, из которых он состоит. Например, (3; 6; 7) – это кортеж длины 3, (м, а, т, е, м, а, т, и, к, а) – это кортеж длины 10.

Рассматривают в математике и декартово произведение трех, четырех и вообще nмножеств.

Определение. Декартовым произведением множеств А₁, А₂, …, А_n называется множество всех кортежей длины n, первая компонента которых принадлежит множеству А_1, вторая – множеству А₂, …, n – я – множеству А_n.

Декартово произведение множеств А₁, А₂, …, А_n обозначают так: А₁´ А₂´ …´ А_n.

Пример

Даны множества: А₁= {2, 3}, А₂= {3, 4, 5}, А₃ = {6, 7}. Найти А₁´ А₂ ´А₃.

Решение

Элементами множества А₁´ А₂ ´А₃ будут кортежи длины 3 такие, что первая их компонента принадлежит множеству А_1, вторая – множеству А₂, третья – множеству А₃.

А₁´ А₂ ´А₃ ={(2,3,6), (2,3,7), (2,4,6), (2,4,7), (2,5,6), (2,5,7), (3,3,6), (3,3,7),(3,4,6), (3,4,7), (3,4,7),(3,5,6), (3,5,7)}.