Дисперсия абсолютно непрерывной случайной величины X с функцией плотности f(x) и математическим ожиданием m = M(X) определяется таким же равенством, как и для дискретной величины
Из равенства (5.26) следует, что справедлива следующая формула
Поскольку формула (5.29) может быть записана в следующем виде
то формулу (5.30) можно представить таким образом
В случае когда абсолютно непрерывная случайная величина X сосредоточена на промежутке [a, b], формулы (5.30), (5.32) примут вид
. 
Дисперсия непрерывной случайной величины определяет степень рассеивания значений, принимаемых случайной величиной, вокруг ее математического ожидания.
Среднее квадратичное отклонение, или стандартное отклонение, непрерывной случайной величины X определяется так же, как и для дискретной случайной величины:
Начальным моментом порядка k (k принадлежит N), свободная величина Х называется мат.ожиданием k-й степени Х.
Центральным моментом порядка k СВ Х называется мат.ожидание k-й степени отклонения:
Теорема: если Х и У независимые СВ, то 
Док-во:
Докажем связь начальных и центральных моментов: 
f(xy)=d(fx(x))/dy и наоборот
По определению:
Компоненты Х и У абсолютно непрерывного случайного вектора называются независимыми, если
Пример: прямоугольник 
, в котором вектор (х,у) равномерно распределен.
F(x;y)= 
иначе
При решении уравнения 
найдем 
а) 
б) 
Аналогично для 
Компоненты Х и У – независимые
Неравенство Маркова: если x³0, a>0, то P(X³a) £ M(X)/a
Н-во Чебышева: пусть X – случ. величина, у кот есть M(X)=m и D(X)=a, тогда " e>0 справедливо н-во P(|X-m|³e) £ D(X)/e2 Док-во: P(X³e) £ m/e - н-во Маркова. |X-m|³e; (X-m)2/e2³1;
P(|X-m|³e) = P((X-m)2/e2³1) £ M((X-m)2/e2) = 1/e2 M((X-m)2) = D/e2; P(|X-m|³e)£ D(X)/e2.
Выборочная дисперсия Db- среднее арифметическое квадрата отклонения наблюдаемого значения признака от их среднего значения Хв. Если все значения х1+х2+…+хn выборки v n различны, то DB= 
Если значения признака х1,х2,…хn имеют соответствующие частоты n1,…nk; n1+…+nk=n
DB= 
D= 
D= 
= 
= 
=
1 °. Теорема Чебышева. Неравенство Чебышева позволяет доказать ряд важных теорем, объе-диненных одним общим названием "закон больших чисел". Основная из этих теорем принадлежит самому П.Л. Чебышеву.
Теорема 10.1. (теорема Чебышева). Пусть имеется бесконечная последовательность X 1, X 2, … независимых случайных величин с одним и тем же математическим ожиданием m и дисперсиями, ограниченными одной и той же постоянной:
Тогда, каково бы ни было положительное число, вероятность события
стремится к единице при 
Доказательство. Положим,
.
В силу свойств математического ожидания имеем:
.
Далее, так как величины независимы, то
.
Сопоставив полученное неравенство с неравенством Чебышева:
,
будем иметь:
Это показывает, что с ростом n вероятность события 
стремится к 1.
Смысл теоремы Чебышева можно пояснить следующим примером. Пусть требуется измерить некоторую физическую величину m. В силу неизбежных ошибок результат измерения будет случай-ной величиной. Обозначим эту величину X; ее математическое ожидание будет совпадать с измеряе-мой величиной m, а дисперсия равна некоторой величине D (характеризующей точность измеритель-ного прибора). Произведем n независимых измерений и обозначим:
X 1 – результат первого измерения;
X 2 – результат второго измерения
и т.д. Совокупность величин X 1, X 2, …, Xn представляет собой систему n независимых случайных ве-личин, каждая из которых имеет тот же закон распределения, что и сама величина X. Среднее ариф-метическое этих величин тоже является, конечно, случайной величиной. Однако с увеличением n эта величина почти перестает быть случайной, она все более приближается к постоянной m. Точная количественная формулировка этой близости состоит в том, что событие 
становится как угодно достоверным при достаточно большом n.
Если в каждом из п независимых испытаний вероятность р появления события А постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности р по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.
Другими словами, если 
- сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы имеет место равенство 
. Доказательство. Обозначим через Х1 дискретную случайную величину—число появлений события в первом испытании, через Х2—во втором,..., Хn—в n -м испытании. Ясно, что каждая из величин может принять лишь два значения: 1 (событие А наступило) с вероятностью р и 0 (событие не появилось) с вероятностью 1—р=q. Можно ли применить к рассматриваемым величинам теорему Чебышева? Можно, если случайные величины попарно независимы и дисперсии их ограничены. Оба условия выполняются. Действительно, попарная независимость величин X1, Х2,..., Хn следует из того, что испытания независимы. Дисперсия любой величины Xi (i= 1, 2,..., n) равна произведению pq, так как p+q=1,то произведение pq не превышает 1/4 и, следовательно, дисперсии всех величин ограничены, например, числом С =1/4. Применяя теорему Чебышева (частный случай) к рассматриваемым величинам, имеем 
Приняв во внимание, что математическое ожидание а каждой из величин Xi (т. е. математическое ожидание числа появлений события в одном испытании) равно вероятности р наступления события, получим 
Остается показать, что дробь (X1+X2+…Xn)/n равна относительной частоте т/п появлений события А в испытаниях. Действительно, каждая из величин X1,X2,…Xn при появлении события в соответствующем испытании принимает значение, равное единице; следовательно, сумма X1+X2+…+Xn равна числу m появления события в n испытаниях, а значит, 
Учитывая, это равенство, окончательно получим
. Итак, теорема Бернулли утверждает, что при 
относительная частота стремится по вероятности к p.
Х – биномин. Случайная величина с параметрами n и p
Если Х – случайная величина, явл-ся суммой большого числа независимых случайных величин, то случайная величина Х-МХ/ςх имеет распределение, близкое к стандартному нормальному, т.е.
Р{α≤X-MX/ςx≤β} = 
=Ф(β)-Ф(α) Х – число успехов в серии из n испытаний Х=Х1+Х2+…Хn
Где Хi=0, если в i-ом успеха не было, 1, если успех был. Р{α≤(X-np)/√npq≤β}= Ф(β)-Ф(α)
Р{np+α√npq≤x≤np+β√npq}
