Дробно-рациональные уравнения. Алгебраические уравнения И

Алгебраические уравнения И

Алгебраические неравенства

 

Уравнения высших степеней

 

Уравнение вида:

, (1)

где называется уравнением n-ой степени.

Если , уравнение называется линейным.

Если , уравнение называется квадратным.

Если , уравнение называется однородным.

Основными методами решения уравнений типа (1) при являются:

1) метод разложения многочлена в левой части уравнения (1) на множители и сведение к равносильной совокупности уравнений;

2) метод замены переменной, в результате применения которого уравнение (1) заменяется равносильным уравнением, степень которого ниже, чем n;

3) поиск корней среди делителей свободного члена.

Рассмотрим некоторые виды уравнений (1) и их решения.

Уравнения вида

решаются вынесением общего множителя за скобки:

и сведением к совокупности:

Уравнение вида

, , (2)

решаем заменой . Получаем уравнение , которое решается как квадратное. Находим его корни (если такие существуют) и возвращаемся к старой переменной.

При уравнение (2) имеет вид

– биквадратное уравнение.

Уравнение

, (3)

где сводится к биквадратному уравнению заменой: .

Уравнение

, (4)

где и таковы, что и сводится к биквадратному заменой

или при к уравнению:

заменой

;

Уравнение

, (5)

где и делением на (т.к. – не является корнем) сводится к равносильному ему уравнению:

,

далее заменой оно сводится к квадратному уравнению.

Уравнение

,

где и А таковы, что сводится к уравнению вида (5) после попарного перемножения выражений в скобках: .

Уравнения вида

, (6)

где , называются симметрическими уравнениями третьей степени.

Так как

, то уравнение (5) равносильно совокупности уравнений:

Уравнения вида

, (7)

где , называются симметрическими уравнениями четвертой степени.

Так как – не является корнем уравнения (7), то деление обеих частей уравнения (7) на приводит его к уравнению:

или

.

Далее заменяем и сводим его к квадратному уравнению.

 

Пример 1. Решить уравнение .

Решение.

Выносим общий множитель за скобки:

.

Получаем совокупность уравнений

Ее решение дает три корня:

Пример 2. Решить уравнение

.

Решение.

Заменяем и приходим к уравнению

.

Последнее уравнение имеет корни

Возвращаемся к переменной х:

Решаем полученные квадратные уравнения и приходим к ответу:

Пример 3. .

Решение.

Задано уравнение вида (3). Заменяем

, т.е. . Подставим это значение в заданное уравнение:

.

После упрощения имеем

. Дополним до полного квадрата суммы

После упрощения уравнение приобретает вид

, т.е. .

Его решением является лишь .

Возвращаясь к переменной х, получим , что приводит к ответу .

Пример 4. .

Решение.

Имеем уравнение вида (4).

Так как и , перемножим попарно выражения в 1-й и 2-й скобках, а также в 3-й и 4-й. Получим

.

Заменяем .

Поскольку , и приходим к уравнению

.

Решая его как квадратное, получим корни:

Возвращаемся к переменной х:

Первое квадратное уравнение полученной совокупности не имеет корней, т.к. , а второе имеет корни

что и будет ответом.

Пример 5. Решить уравнение

.

Решение.

Имеем уравнение вида (5). Поскольку не является его корнем (в чем можно убедиться подстановкой), то делим его почленно на . Получаем

.

Введем замену , которая приводит к уравнению

, т.е.

.

Находим корни и возвращаемся к переменной х:

Решаем полученную совокупность дробно-рациональных уравнений:

т.е.

Получаем в совокупности 4 корня:

Пример 6. Решить уравнение .

Решение.

Это уравнение 3-й степени. Разложим на множители многочлен в правой части. Для этого рассмотрим делители свободного члена:

. Подстановкой находим, что – корень этого многочлена. Значит, многочлен разделится нацело на .

Воспользуемся правилом деления «углом»:

Данное уравнение равносильно уравнению:

,

решение которого сводится к совокупности

Квадратное уравнение не имеет корней, а поэтому получаем единственный корень .

Пример 8. Решить уравнение .

Решение.

Данное уравнение является симметрическим уравнением 4-й степени вида (7). Поскольку не является его корнем, то делим это уравнение почленно на . Приходим к уравнению

.

Заменяем

,

соответственно,

и .

Приходим к уравнению вида

, т.е.

.

Находим корни

и возвращаемся к переменной х:

После упрощения получаем

При этом первое уравнение последней совокупности не имеет корней, а второе имеет два корня

что и является ответом.

 

Задания для самостоятельного решения

I уровень

1.1. Решите уравнения:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ;

8) .

 

II уровень

2.1. Решите уравнения:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ;

6) ; 7) ;

8) ;

9) .

 

III уровень

3.1. Решите уравнения:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ; 9) ;

10)

 

 

Дробно-рациональные уравнения

 

Стандартный вид дробно-рационального уравнения

, (8)

где – многочлены.

Область допустимых значений данного уравнения: . Решение уравнений (8) сводится к решению системы

Дробно-рациональные уравнению вида:

,

где – многочлены можно решать, используя основное свойство пропорции:

К основному методу решения дробно-рациональных уравнений относятся также метод замены переменной.

Некоторые специальные приемы будут рассмотрены далее на примерах.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение.

Сводим заданное уравнение к стандартному виду вида (8):

, т.е.

Его решением будет решение системы

т.е.

Значит, решением заданного уравнения является .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение.

Применим основное свойство пропорции с учетом ОДЗ уравнения:

Получаем

Откуда

Оба корня являются решениями, т.к. подходят по ОДЗ. В ответе имеем

Пример 3. Решить уравнение .

 

Решение.

Группируем слагаемые

.

Заменяем

, откуда

,

т.е. и

.

Получаем уравнение

,

или, то же самое,

.

Полученное уравнение имеет корни

Возвращаемся к переменной :

 

В результате приходим к совокупности 2-х квадратных уравнений

которые решаем на ОДЗ: . Приходим к ответу

Пример 4. Решить уравнение .

Решение.

Выделим в левой части уравнения полный квадрат суммы:

.

Получаем уравнение, которое приобретает вид

.

Заменяем и приходим к уравнению

.

Решая его, найдем корни:

Возвращаемся к старой переменной:

Решаем полученные уравнения по свойству пропорции (с учетом ОДЗ):

Приходим к ответу .

Пример 5. Решить уравнение .

Решение.

Введем замену:

. Тогда и получим уравнение

.

Решаем его:

, т.е. .

Решая квадратное уравнение, находим корни:

Вернемся к переменной х:

Решаем первое уравнение:

;

.

Второе уравнение не имеет решения, т.к. .

Получили ответ: .