Алгебраические уравнения И
Алгебраические неравенства
Уравнения высших степеней
Уравнение вида:
, (1)
где 
называется уравнением n-ой степени.
Если 
, уравнение 
называется линейным.
Если 
, уравнение 
называется квадратным.
Если 
, уравнение называется однородным.
Основными методами решения уравнений типа (1) при 
являются:
1) метод разложения многочлена в левой части уравнения (1) на множители и сведение к равносильной совокупности уравнений;
2) метод замены переменной, в результате применения которого уравнение (1) заменяется равносильным уравнением, степень которого ниже, чем n;
3) поиск корней среди делителей свободного члена.
Рассмотрим некоторые виды уравнений (1) и их решения.
Уравнения вида 
решаются вынесением общего множителя 
за скобки:
и сведением к совокупности:
Уравнение вида
, 
, (2)
решаем заменой 
. Получаем уравнение 
, которое решается как квадратное. Находим его корни (если такие существуют) и возвращаемся к старой переменной.
При уравнение (2) имеет вид
– биквадратное уравнение.
Уравнение
, (3)
где 
сводится к биквадратному уравнению заменой: 
.
Уравнение
, (4)
где 
и 
таковы, что 
и 
сводится к биквадратному заменой
или при 
к уравнению:
заменой
;
Уравнение
, (5)
где 
и 
делением на 
(т.к. 
– не является корнем) сводится к равносильному ему уравнению:
,
далее заменой 
оно сводится к квадратному уравнению.
Уравнение
,
где и А таковы, что 
сводится к уравнению вида (5) после попарного перемножения выражений в скобках: 
.
Уравнения вида
, (6)
где 
, называются симметрическими уравнениями третьей степени.
Так как
, то уравнение (5) равносильно совокупности уравнений:
Уравнения вида
, (7)
где , называются симметрическими уравнениями четвертой степени.
Так как – не является корнем уравнения (7), то деление обеих частей уравнения (7) на приводит его к уравнению:
или
.
Далее заменяем 
и сводим его к квадратному уравнению.
Пример 1. Решить уравнение 
.
Решение.
Выносим общий множитель за скобки:
.
Получаем совокупность уравнений
Ее решение дает три корня:
Пример 2. Решить уравнение
.
Решение.
Заменяем 
и приходим к уравнению
.
Последнее уравнение имеет корни
Возвращаемся к переменной х:
Решаем полученные квадратные уравнения и приходим к ответу:
Пример 3. 
.
Решение.
Задано уравнение вида (3). Заменяем
, т.е. 
. Подставим это значение в заданное уравнение:
.
После упрощения имеем
. Дополним до полного квадрата суммы
После упрощения уравнение приобретает вид
, т.е. 
.
Его решением является лишь 
.
Возвращаясь к переменной х, получим 
, что приводит к ответу 
.
Пример 4. 
.
Решение.
Имеем уравнение вида (4).
Так как 
и 
, перемножим попарно выражения в 1-й и 2-й скобках, а также в 3-й и 4-й. Получим
.
Заменяем 
.
Поскольку 
, и приходим к уравнению
.
Решая его как квадратное, получим корни:
Возвращаемся к переменной х:
Первое квадратное уравнение полученной совокупности не имеет корней, т.к. 
, а второе имеет корни 
что и будет ответом.
Пример 5. Решить уравнение
.
Решение.
Имеем уравнение вида (5). Поскольку 
не является его корнем (в чем можно убедиться подстановкой), то делим его почленно на 
. Получаем
.
Введем замену 
, которая приводит к уравнению
, т.е.
.
Находим корни 
и возвращаемся к переменной х:
Решаем полученную совокупность дробно-рациональных уравнений:
т.е. 
Получаем в совокупности 4 корня:
Пример 6. Решить уравнение 
.
Решение.
Это уравнение 3-й степени. Разложим на множители многочлен в правой части. Для этого рассмотрим делители свободного члена:
. Подстановкой находим, что 
– корень этого многочлена. Значит, многочлен разделится нацело на 
.
Воспользуемся правилом деления «углом»:
Данное уравнение равносильно уравнению:
,
решение которого сводится к совокупности
Квадратное уравнение не имеет корней, а поэтому получаем единственный корень 
.
Пример 8. Решить уравнение 
.
Решение.
Данное уравнение является симметрическим уравнением 4-й степени вида (7). Поскольку не является его корнем, то делим это уравнение почленно на . Приходим к уравнению
.
Заменяем
,
соответственно,
и 
.
Приходим к уравнению вида
, т.е.
.
Находим корни
и возвращаемся к переменной х:
После упрощения получаем
При этом первое уравнение последней совокупности не имеет корней, а второе имеет два корня
что и является ответом.
Задания для самостоятельного решения
I уровень
1.1. Решите уравнения:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
;
8) 
.
II уровень
2.1. Решите уравнения:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
;
6) 
; 7) 
;
8) 
;
9) 
.
III уровень
3.1. Решите уравнения:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
;
8) 
; 9) 
;
10) 
Дробно-рациональные уравнения
Стандартный вид дробно-рационального уравнения
, (8)
где 
– многочлены.
Область допустимых значений данного уравнения: 
. Решение уравнений (8) сводится к решению системы
Дробно-рациональные уравнению вида:
,
где 
– многочлены можно решать, используя основное свойство пропорции:
К основному методу решения дробно-рациональных уравнений относятся также метод замены переменной.
Некоторые специальные приемы будут рассмотрены далее на примерах.
Пример 1. Решить уравнение 
.
Решение.
Сводим заданное уравнение к стандартному виду вида (8):
, т.е. 
Его решением будет решение системы
т.е.
Значит, решением заданного уравнения является 
.
Пример 2. Решить уравнение 
.
Решение.
Применим основное свойство пропорции с учетом ОДЗ уравнения:
Получаем
Откуда
Оба корня являются решениями, т.к. подходят по ОДЗ. В ответе имеем
Пример 3. Решить уравнение 
.
Решение.
Группируем слагаемые
.
Заменяем
, откуда
,
т.е. 
и
.
Получаем уравнение
,
или, то же самое,
.
Полученное уравнение имеет корни 
Возвращаемся к переменной 
:
В результате приходим к совокупности 2-х квадратных уравнений
которые решаем на ОДЗ: 
. Приходим к ответу
Пример 4. Решить уравнение 
.
Решение.
Выделим в левой части уравнения полный квадрат суммы:
.
Получаем уравнение, которое приобретает вид
.
Заменяем 
и приходим к уравнению
.
Решая его, найдем корни:
Возвращаемся к старой переменной:
Решаем полученные уравнения по свойству пропорции (с учетом ОДЗ):
Приходим к ответу 
.
Пример 5. Решить уравнение 
.
Решение.
Введем замену:
. Тогда 
и получим уравнение
.
Решаем его:
, т.е. 
.
Решая квадратное уравнение, находим корни:
Вернемся к переменной х:
Решаем первое уравнение:
;
.
Второе уравнение не имеет решения, т.к. 
.
Получили ответ: 
.
