Понятие функционального ряда. Область сходимости.

Ряд называется функциональным, если члены ряда являются некоторыми функциями:

Пример:

 

При х=х₀ функциональный ряд становится числовым:

Придавая различные числовые значения, будем получать различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися.

Если при ряд сходится, то - точка сходимости ряда

Если при ряд расходится, то - точка расходимости ряда

Совокупность точек сходимости называется областью сходимости функционального ряда.

По аналогии с числовыми рядами, для функциональных рядов можно ввести следующие понятия:

частичная сумма ,

остаток ряда

Для любого x из области сходимости существует и

 

Степенные ряды.

Степенным рядом называется ряд вида

C₀+C₁()+C₂()²+…+C_n()ⁿ+…,

где C_0,C₁,C₂,…,С_n,… - коэффициенты степенного ряда, а - фиксированное число.

При а =0 степенной ряд принимает простейший вид: С₀+С₁ +C₂ ²+…+C_n ⁿ+…

Совокупность значений х, при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Теорема Абеля. Если степенной ряд в некоторой точке ≠ 0:

1) сходится, то он абсолютно сходится при всех х таких, что <

2) расходится, то он расходится при всех х таких, что >

Из теоремы Абеля следует, что существует R ≥ 0 такое, что при всех < R ряд сходится, а при > R – расходится. R - радиус сходимости степенного ряда, (-R; R) – интервал сходимости.

Чтобы найти радиус сходимости степенного ряда, применяют признак Даламбера к ряду из абсолютных величин

D=

Чтобы ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы D<1.

 

Замечание: Если , то ряд сходится только при х =0, то есть R =0.

Если , то ряд сходится на всей числовой прямой, то есть R =∞

 

Если имеем степенной ряд общего вида , то D= <1

Примеры.

Найти область сходимости степенного ряда:

1)

D= <1

< =R

- < x < , (- ; ) - интервал сходимости.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости. При получим числовой ряд , который расходится (гармонический ряд).

При получим числовой ряд , который сходится по признаку Лейбница. едовательно, область сходимости (- ; ].

2)

D= . Следовательно, R =0, ряд сходится только в точке х =0.

 

3)

D=

 

Следовательно, R =∞, ряд сходится абсолютно на всей числовой прямой.

 

4)

D= < 1

, (-1;1) – интервал сходимости.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

При получим числовой ряд , который сходится по признаку Лейбница.

При получим числовой ряд , который расходится (гармонический ряд).

Следовательно, область сходимости [-1;1).

 

5)

D = <1

, (-1;3) – интервал сходимости.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости. При получим числовой ряд , который сходится по признаку Лейбница. При получим числовой ряд

По первому признаку сравнения этот ряд расходится ( > ).

Следовательно, область сходимости [-1;3).

 

 

Свойства степенных рядов

Пусть дан степенной ряд . И пусть – его интервал сходимости. Тогда в любой точке интервала сходимости - функция от х.

Теорема 1. Сумма степенного ряда является непрерывной функцией в каждой точке его интервала сходимости.

Теорема 2. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой точке его интервала сходимости, при этом, если , то

.

Теорема 3. Степенной ряд можно почленноинтегрировать на любом отрезке из его интервала сходимости, при этом

Теорема 4. Ряды, полученные из данного степенного ряда его почленным дифференцированием или интегрированием, имеют тот же интервал сходимости, что и данный ряд.

 

Ряд Маклорена.

Пусть функция , определенная, n -раз дифференцируемая в некоторой окрестности точки , может быть разложена в степенной ряд:

Найдем производные (почленно дифференцируя ряд):

…

…

При , получим

Следовательно:

- этот ряд называют рядом Маклорена.

 

Ряд Маклорена – частный случай ряда Тейлора:

Теорема 1 (о единственности разложения). Если функция может быть разложена в степенной ряд (Тейлора или Маклорена), то это разложение единственное.

Теорема 2. Для того, чтобы степенной ряд Тейлора (или Маклорена) сходился к функции

.

Теорема 3 (критерий сходимости ряда Тейлора). Пусть функция на имеет производные, ограниченные в совокупности (то есть существует ). Тогда на