Закон нормального розподілу випадкових похибок та статистична обробка при нормальному розподілі результатів спостережень

Метод середнього арифметичного

Метод середнього арифметичного застосовується при прямих вимірюваннях, коли похибка вимірювального приладу менша похибки відліку.

Найбільше до істинного значення вимірюваної ФВ наближається її середнє арифметичне значення. Нехай маємо n прямих вимірювань ФВ х:

 

.

 

1. Визначається середнє арифметичне ФВ х

 

(1)

Примітка. При кінцевому числі n величина називається виборочним середнім або середнім вибірки.

2. Визначається абсолютна похибка кожного вимірювання

 

 

3. Обчислюється середня абсолютна похибка

 

(2)

 

4. Обчислюється відносна похибка

 

(3)

 

Якщо в процесі багатократних вимірювань вимірювальний прилад дає однакові покази, то за максимальну абсолютну похибку приймають похибку вимірювального приладу або ціну поділки шкали приладу.

5. Записується результат вимірювання

 

(4)

 

Статистичний метод

Похибки також поділяються на систематичні, випадкові, промахи. Систематичні похибки та промахи можна звести до мінімального значення, наприклад до нуля. Випадкові похибки - це похибки, які в однакових умовах мають різні значення. Випадкові похибки не можна звести до нуля, можна лише зменшити їхню величину шляхом збільшення кількості вимірювань в ідентичних умовах. Випадкові похибки досліджуються в теорії імовірностей. Похибки відліку при зніманні показів мір або вимірювальних приладів оком людини також можна обробляти статистичним методом.

 

Закон нормального розподілу випадкових похибок та статистична обробка при нормальному розподілі результатів спостережень

Нехай маємо n (100) вимірювань ФВ х( ). Обчислимо середнє арифметичне ФВ х - і знайдемо абсолютні похибки . Розглянемо величини цих випадкових похибок і розділимо їх на певні інтервали, враховуючи їхній знак. Побудуємо гістограму. Для цього по осі ОХ відкладатимемо величини похибок, а по осі ОY кількість похибок які потрапляють в цей інтервал.

 

 

Якщо кількість вимірювань збільшувати (), а величину інтервалу зменшувати, то гістограма наближатимеся до плавної кривої, яка має форму кривої Гаусса (нормальний розподіл Гаусса або розподіл густини імовірностей). Аналітичний вигляд кривої Гаусса є

 

(5)

 

– густина імовірності. Вона дозволяє визначити імовірність dP появи випадкової похибки в інтервалі похибок d(Δx) за формулою

 

,

 

а імовірність появи випадкової похибки в кінцевому інтервалі значень [Δ x ₁, Δ x ₂] буде дорівнювати

 

(6)

 

 

Δ x - абсолютна випадкова похибка результату спостереження, коли систематична похибка повністю виключена, параметр σ називається дисперсією і характеризує розкид значень випадкової похибки відносно нульового значення. Квадратний корінь з дисперсії називається середньо квадратичним відхиленням (середньо квадратичною похибкою). Параметр σ зручно використовувати для оцінки якості проведених спостережень. Так, якщо його значення взяти в якості границь випадкової похибки результату спостереження, то за формулою (6) імовірність Р₁ того, що похибка результату спостереження перебуває в межах [- σ, + σ ], дорівнює

 

(7)

 

Аналогічно можна отримати імовірність появи похибки реультату спостереження в межах інтервалу [-2 σ, +2 σ ] – вона дорівнює 0,95, а в межах інтервалу [-3 σ, +3 σ ] – 0,99. Це означає, що з серії спостережень, кількість яких прийнято за 100%, для 68% з них випадкова похибка не вийде за межі , у 95% - за межі 95 % , а для 99% - за межі . Тобто, параметр σ дозволяє визначити границі інтервалу випадкової похибки з деякою імовірністю. Середньо квадратичну похибку називають ще стандартною похибкою. Середньо квадратична стандартна похибка визначається за формулою

 

(8)

 

Формула (8) дає дещо занижене значення дисперсії, бо відрізняється від істинного значення вимірюваної величини, тому оцінка середньо квадратичної (стандартної) похибки проводиться на основі дослідних даних за формулою

 

(9)

 

Верхня та нижня границі інтервалу, що покриває з заданою імовірністю похибку вимірювання, називаються довірчими границями похибки, інтервал – довірчим, а імовірність, що його характеризує – довірчою імовірністю. Границі довірчого інтервалу визначаються за формулою

 

(10)

 

Для довірчого інтервалу 68% (для значень є таблиці).

Таким чином, результатом вимірювання ФВ є середнє арифметичне результатів спостережень та довірчий інтервал випадкової похибки.

При кінцевій кількості спостережень (вимірювань) розподіл Гаусса застосовується з певним ступенем наближення. В цьому випадку для визначення границь довірчого інтервалу замість формули (10) в якій коефіцієнт залежить тільки від імовірності Р, використовується інша формула

 

(11)

 

- коефіцієнт Стьюдента, який залежить не тільки від імовірності Р, але й від кількості спостережень n в серії, його беруть з таблиці.

 

p n	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,98	0,999
	1,00	1,38	2,0	3,1	6,3	12,7	31,8	636,6
	0,82	1,06	1,3	1,9	2,9	4,3	7,0	31,6
	0,77	0,98	1,3	1,6	2,4	3,2	4,5	12,9
	0,74	0,94	1,2	1,5	2,1	2,8	3,7	8,6
	0,73	0,92	1,2	1,5	2,0	2,6	3,4	6,9
	0,72	0,90	1,1	1,4	1,9	2,4	3,1	6,0
	0,71	0,90	1,1	1,4	1,9	2,4	3,0	5,4
	0,71	0,90	1,1	1,4	1,9	2,3	2,9	5,0
	0,70	0,88	1,1	1,4	1,8	2,3	2,8	4,8
∞	0,67	0,84	1,0	1,3	1,6	2,0	2,3	3,3

 

Середньо квадратична похибка результату при кінцевій кількості спостережень (вимірювань) оцінюється за формулою

 

(12)