В)3-ші ретті анықтауыш. үшінші ретті матрицаға үшінші ретті анықтауыш сәйкес келеді:

үшінші ретті матрицаға үшінші ретті анықтауыш сәйкес келеді:

Бұл анықтауыштың есептелуін үшбұрыш ережесі немесе Саррус ережесімен оңай есте сақтауға болады. Бұл ереже бойынша алғашқы оң таңбалы үш қосылғыш 1-схема, ал кейінгі теріс таңбалы үш қосылғыш 2-схемамен есептелінеді.

1-схема 2-схема

3.3-ші ретті анықтауыш

Мысалы, мынадай үшінші ретті анықтауышты есептейік:

Реті үштен көп болатын анықтауыштарды есептеу үшін жаңа ұғымдар қажет болады.

А)Анықтама. n-ретті квадрат матрицаның –жатық жолы мен –тік жолын сызып тастағаннан кейін пайда болған (n–1)-ретті анықтауышты элементінің миноры деп атайды және деп белгілейді.

Үшінші ретті марицаның элементінің миноры мынадай екінші ретті анықтауыш болады:

элементінің алгебралық толықтауышы деп мынадай санды айтады:

Үшінші ретті марицаның элементінің алгебралық толықтауышы мынадай сан:

Мысалы, матрицасының бірінші жатық жолдағы элементтерінің миноры мен алгебралық толықтауыштарын есептейік:

, , ,

, ,

, , .

Лаплас теоремасы. квадрат матрицаның Δ анықтауышы оның кез келген жол элементтерін сәйкес алгебралық толықтауыштарға көбейтіп қосқанға тең:

- бұл анықтауыштың i –жатық жолы бойынша жіктелініп есептелуі.

- бұл анықтауыштың j –тік жолы бойынша жіктелініп есептелуі.

Алдыңғы мысалдағы матрицасының анықтауышын бірінші жатық жолы бойынша жіктеп есептейік:

,

мұндағы алгебралық толықтауыштардың дайын мәндерін алдыңғы мысалдан алдық.

С)Лаплас теоремасы n -ретті анықтауыш есептеуді (n-1)-ретті анықтауыш есептеуге келтіріледі. Сонымен, кез келген n -ретті (n>3) анықтауышты дәрежесін төмендету арқылы екінші ретті анықтауышты есептеуге келтіруге болады екен.

Д)Енді анықтауыш қасиеттерін қарастырайық.

1-қасиет. Анықтауыштың жатық жолдарын сәкес тік жолдарымен алмастырғаннан, яғни транспонерлегеннен, анықтауыш мәні өзгермейді:

.

Теңдіктің дұрыстығын анықтауыштарды есептеу арқылы тексеруге болады.

2-қасиет. Анықтауыштың қандай да бір жолының ортақ көбейткішін анықтауыш алдына шығаруға болады. Үшінші ретті анықтауыштың екінші жолындағы ортақ көбейткішті анықтауыш алдына шығарамыз:

.

Теңдіктің дұрыстығына берілген матрицаны екінші жол бойынша жіктеп тексеруге болады.

3-қасиет. Анықтауыштың екі жолының орнын ауыстырғаннан анықтауыш таңбасы қарама-қарсы таңбаға өзгереді. Үшінші ретті анықтауыштың бірінші және екінші жолдарын алмастырайық:

Теңдіктің дұрыстығын екінші анықтауышты бірінші жол бойынша жіктеп тексеруге болады.

4-қасиет. Егер анықтауыштың екі жолы бірдей болса, онда анықтауыш мәні нолге тең. Үшінші ретті анықтауыштың бірінші және екінші жолдары бірдей болсын:

=0.

Теңдіктің дұрыстығын осы екі жолдың орндарын алмастырып 3-қасиетті қолданып тексеруге болады.

5-қасиет. Анықтауыштың бір жолын қандай да бір санға көбейтіп басқа жолға қосқаннан анықтауыш мәні өзгермейді. Үшінші ретті анықтауыштың бірінші жолын -ға көбейтіп екінші жолға қосайық:

.

Теңдіктің дүрыстығын екінші анықтауышты мынадай

+

анықтауыштардың қосындысы түрінде жазайық. Сонда бірінші қосылғыш берілген анықтауыш болады да, екінші анықтауыш нолге тең.

6-қасиет. Үшбұрышты матрицаның анықтауышы диагональ бойындағы элементтердің көбейтіндісіне тең:

.

Теңдіктің дұрыстығын анықтауышты бірінші тік немесе үшінші жатық жол бойынша жіктеп тексеруге болады.

Осы қасиеттер көмегімен жоғары ретті анықтауыштар есептеуді көп жеңілдетуге болады. Анықтауышты қандай да бір жолында неғұрлым көп ноль болатындай етіп түрлендіріп, сол жол бойынша жіктеп анықтауыш реті төмендетіледі. Мысалы мынадай төртінші ретті анықтауышты есептейік.

Анықтауышты үшбұрышты түрге келтіреміз. Алдымен 5-қасиет бойынша анықтауыштың бірінші жолын 1-ге көбейтіп үшінші жолға, (-1)-ге көбейтіп төртінші жолға қосайық (есепте көрсетілген). Сонда анықтауыштың бірінші тік жолында элементтен басқасы нолге айналады.

Енді осы қасиетті пайдаланып элементінің астында тұрған сандарды нолге айналдырамыз. Соңында элементінің астында тұрған сандарды нолге айналдырамыз. Анықтауыш үшбұрышты түрге келді. 6-қасиет бойынша анықтауыш мәнін диагональдік элементтерді көбейтіп табамыз.

= =

= = .