Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Назван по имени Габриэля Крамера (1704–1752), придумавшего метод.
Для системы 
линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем) 
с определителем матрицы системы 
, отличным от нуля, решение записывается в виде 
(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).
В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c1, c2, …, cn справедливо равенство: 
.
Пример: Система линейных уравнений:
Определители:
.
Решение: 
.
5. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Привести пример.
Ме́тод Га́усса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
Описание метода:Пусть исходная система выглядит следующим образом 
Матрица А называется основной матрицей системы, b — столбцом свободных членов.Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду(эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов): 
При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных 
.
Тогда переменные , называются главными переменными. Все остальные называются свободными.
Если хотя бы одно число 
, где 
, то рассматриваемая система несовместна.
Пусть 
для любых .
Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом 
(, где 
— номер строки): 
Где 
Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.
Следствия: 1: Если в совместной системе все переменные главные, то такая система является определённой.
2: Если количество переменных в системе превосходит число уравнений, то такая система является либо неопределённой, либо несовместной.
Условие совместности: Упомянутое выше условие для всех может быть сформулировано в качестве необходимого и достаточного условия совместности:напомним, что рангом совместной системы называется ранг её основной матрицы (либо расширенной, так как они равны).
Пример: Система
Обнулим коэффициенты при Х во второй и третьей строчках. Для этого вычтем из них первую строчку, умноженную на 
и -1, соответственно: 
Теперь обнулим коэффициент при У в третьей строке, вычтя из неё вторую строку, умноженную на 4: 
В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончив первый этап алгоритма.На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем:
из третьего;
из второго, подставив полученное 
;
из первого, подставив полученные и 
.
Таким образом исходная система решена.В случае, если число уравнений в совместной системе получилось меньше числа неизвестных, то тогда ответ будет записываться в виде фундаментальной системы решений.
Достоинства метода:
1)Менее трудоёмкий по сравнению с другими методами.
2)Позволяет однозначно установить, совместна система или нет, и если совместна, найти её решение.
3)Позволяет найти максимальное число линейно независимых уравнений — ранг матрицы системы.
6. Определение функции. Раскрыть понятие обратной, сложной, элементарной функций и экспоненты. Функция 
(отображение, операция, оператор) — это закон или правило, согласно которому каждому элементу 
из множества 
ставится в соответствие единственный элемент из множества 
.При этом говорят, что функция задана на множестве , или что отображает в .Если элементу 
сопоставлен элемент 
, то говорят, что элемент находится в функциональной зависимости от элемента . При этом переменная называется аргументом функции или независимой переменной, множество называется областью задания или областью определения функции, а элемент , соответствующий конкретному элементу — частным значением функции в точке . Множество всех возможных частных значений функции называется её областью значений или областью изменения.
Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.Функция 
является обратной к функции 
, если выполнены следующие тождества:
1) 
для всех 
2) 
для всех 
Сложная функция – функция от функции. Если z – функция от у, т.е. z(y), а у, в свою очередь, – функция от х, т.е. у(х), то функция f(x) = z(y(x)) называется сложной функцией (или композицией, или суперпозицией функций) от х.В такой функции х – независимая, а у – промежуточная переменная. При этом сложная функция определена для тех значений независимой переменной, для которых значения промежуточной функции у входят в область определения функции z(y).Производная дифференцируемой сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточной функции по независимому аргументу: 
.
.Эта формула легко распространяется на случай, когда у сложной функции имеется два, три и более промежуточных аргументов («цепное правило»): если z = f1(y1), y1 = f2(y2), …, yn-1 = fn(x), то 
Элементарные функции — функции, которые можно получить из основных элементарных функций: (многочлен (полином), рациональная, степенная, показательная и логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические) с помощью конечного числа арифметических действий и композиций. Каждую элементарную функцию можно задать формулой, т.е. набором конечного числа символов, отвечающих перечисленным операциям.
Экспонента — показательная функция 
, где e — основание натуральных логарифмов (
). Экспоненциальная функция может быть определена различными эквивалентными способами. Например, через ряд Тейлора: 
или через предел: 
.
Здесь x — любое комплексное число.
