Определение погрешностей для таблицы 2.3.

Теоретическая часть

Маятники – тела, колеблющиеся под действием сил тяготения. Если маятник можно представить как материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити, то говорят о математическом маятнике. На практике математическим маятником можно считать тяжелое тело, подвешенное на легкой нити, длина которой во много раз больше размеров тела. Период колебаний такого маятника находится, как:

Т = 2pÖ (l/g) (1)

Во время колебаний маятника происходят постоянные превращения энергии из одного вида в другой. Кинетическая энергия маятника превращается в потенциальную энергию (гравитационную, упругую) и обратно. Кроме того, постепенно происходит диссипация кинетической энергии в тепловую за счёт сил трения.

Физическим маятником называется твердое тело, способное совершать колебания вокруг неподвижной точки, не совпадающей с его центром масс. В положении равновесия центр масс маятника С находится под точкой подвеса маятника О, на одной с ней вертикальной оси. При отклонении маятника от положения равновесия на угол ϕ возникает вращающий момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент M= -mgаsinϕ, где m – масса маятника, а – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника, а sinϕ – плечо силы тяжести.

При небольших углах отклонения, когда sinϕ ϕ, возвращающий момент будет квазиупругим, т.е.

M = -mgaϕ (2)

В этом случае возвращающий момент силы тяжести прямо пропорционален угловому смещению ϕ маятника от положения равновесия. Согласно основному уравнению динамики вращательного движения:

M = I , (3)

Где M – момент силы, вызывающий вращение маятника, I – момент инерции маятника относительно оси вращения, – угловое ускорение.

Подставив в уравнение 3 значение М из уравнения 2и , получим: I = -mgaϕ, откуда

+ = 0. (4)

Уравнение (4) – дифференциальное уравнение гармонических колебаний физического маятника. Этому уравнению тождественно удовлетворяет функция

Φ= (5)

где = .

В этом можно убедиться подстановкой значений ϕ и в уравнение 4.

Используя связь между угловой частотой гармонических колебаний и периодом, получаем:

T = 2 (6)

Формулу (1) можно записать:

(7)

Полученная линейная зависимость от l может быть проверена экспериментально. Тангенс угла α наклона прямой к оси абсцисс позволяет определить g:

g = (8)

Из сопоставления формул 1 и 6 получается, что математический маятник с длиной

(9)

будет иметь такой же период колебаний, что и данный физический маятник. Величину 9 называют приведенной длинной физического маятника. Таким образом, приведенная длинна физического маятника это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника. Для всякого тела, рассматриваемого как физический маятник, можно указать две точки, именуемые центрами качения, что период малых колебаний при качении вокруг осей, проходящих через эти точки, одинаков, а расстояние между ними равно приведенной длине физического маятника. На этом понятии оборотного маятника основано определение ускорения свободного падения. Оборотным будет такой маятник, у которого имеются две параллельные друг другу, закрепленные опорные призмы, за которые он может поочередно подвешиваться. Вдоль маятника могут перемещаться и закрепляться на нем тяжелые грузы. Перемещением грузов или опорных призм добиваются того, что бы при подвешивании маятника за любую из призм период колебаний был одинаков. Тогда расстояние между опорными ребрами призм будет равно . измерив период колебаний маятника и зная приведенное, можно из формулы

T = 2 (10)

найти ускорение свободного падения g.

 

Практическая часть

Упражнение 1

Проверка зависимости периода колебаний от длины математического маятника и определение ускорения свободного падения.

Таблица 1

N n/n	l,м	n	t, c	T = t/n, c	Tср,C	T2ср, с2
	0,3		16,553	1,1035	1,1035	1,165
	16,560	1,1040
	16,548	1,1032
	0,35		15,795	1,1863	1,186	1,406
	17,789	1,1850
	17,791	1,1860
	0,4		18,994	1,266	1,2656	1,603
	18,990	1,266
	18.988	1,265
	0,45		20,293	1,353	1,355	1,830
	20,385	1,359
	20,298	1,353
	0,5		21,335	1,422	1,4226	2,025
	21,339	1,423
	21,341	1,423

 

Вычисление погрешностей при l=0,45 м

Абсолютная погрешность:

∆T=T_ср-T

DT₁ =0,002с, DT₂ = -0,004с, DT₃ = 0,002с

Средняя абсолютная погрешность:

DT_ср = (½DT₁½+½DT₂½+½DT₃½)/3 = 0,0026с

Относительная погрешность:

e=(DT_ср/Т_ср)100%=0,196 %.

Упражнение 2

Определите ускорение свободного падения с помощью оборотного маятника.

Таблица 2.1

Определение Т₁

N n/n	N	l,м	t,c	T1 = t/n, c	T1cр, с
		0,5	63,061	1,261	1,261
	0,5	63,058	1,261
	0,5	63,063	1,261

Таблица 2.3.

Определение Т’₂

N n/n	N	l’, м	t, c	T’2 = t/n, c	T’2cр., с
		0,36	32,592	1,304	1,3043
	0,36	32,595	1,304
	0,36	32,589	1,303

Таблица 2.4

Определение Т’’₂

N n/n	N	l’’, м	t, c	T’’2= t/n, c	Т’’2ср, С
		0,35	71,608	1,326	1,326
	0,35	71,610	1,326
	0,35	71,605	1,326

Таблица 2.5.

Определение Т<Т₁

N n/n	N	l, м	t, c	T = t/n, c	Tcр, С
		0,4	62,579	1,251	1,251
	62,582	1,252
	62,578	1,251

Таблица 2.6.

Определение периода Т>Т₁

N n/n	N	l, м	t, c	T =t/n, c	Tcp
		0,35	65,834	1,317	1,317
	0,35	65,832	1,317
	0,35	65,838	1,317

Определение погрешностей для таблицы 2.3.

Абсолютная погрешность:

DT₁=0,0003 c, DT₂ =0,0003 c, DT₃ =0,0013 c.

Средняя абсолютная погрешность:

DT_ср = 0,00063 c.

Относительная погрешность:

e = 0,0483%.

 

Упражнение 1.

По построенному графику Т² = f (l) определим g , где a – угол наклона графика к оси абсцисс.

tga = 4,01 Þ g = 9,835 м/c²

Определим погрешность вычисления ускорения свободного падения:

ε

ε

 

 

Упражнение 2

По построенному графику зависимости периода колебаний Т от положения оси вращения l определим g (Т=Т₁).

По построенному графику Т² = f (l) получим, что l _пр = 0,4 м.

l _пр = 0,4 м Þ g = 9,93 м/c²

ε