На координатной плоскости строим искомый прямоугольник и проведем асимптоты. Так как в правой части уравнения -1, то гипербола будет располагаться сверху и снизу от асимптот.

Различают три типа кривых второго порядка:

· Эллиптический

· Гиперболический

· Параболический

Эллиптический тип

Общий вид: , где

Канонический вид:

Чтобы построить эллипс, необходимо привести данное уравнение к каноническому виду:

, где

После этого необходимо построить на координатной плоскости прямоугольник со сторонами 2а (по оси х) и 2b (по оси у) и центром в точке , и в него вписывается эллипс.

Пример: получено уравнение эллипса

Приведем его к каноническому виду:

. Откуда получаем, что стороны прямоугольника (так называемые полуоси эллипса) равны: , центр его будет в точке (3;-2)

На координатной плоскости строим искомый прямоугольник

И далее – вписываем в него эллипс:

Вырожденные случаи:

ü Если получилось уравнение вида , то данное уравнение задает точку на плоскости с координатой (говорят, что эллипс вырождается в точку).

ü Если получилось уравнение вида , то данное уравнение не имеет решений и не задает на плоскости ни одной точки.

2) Гиперболический тип

Общий вид: , где

Канонический вид:

Чтобы построить гиперболу, необходимо привести данное уравнение к каноническому виду:

, где

После этого необходимо построить на координатной плоскости прямоугольник со сторонами 2а (по оси х) и 2b (по оси у) и центром в точке . Прямые, содержащие диагонали и есть асимптоты гиперболы. Дальше – все зависит от знака правой части:

§ Если справа +1, то ветви гиперболы будут располагаться слева и справа от асимптот

Если справа -1, то ветви гиперболы будут располагаться сверху и снизу от асимптот

Пример: получено уравнение гиперболы

Приведем его к каноническому виду:

. Откуда получаем, что стороны прямоугольника (так называемые полуоси гиперболы) равны: , центр ее будет в точке (3;-2)

На координатной плоскости строим искомый прямоугольник и проведем асимптоты. Так как в правой части уравнения +1, то гипербола будет располагаться справа и слева от асимптот. Причем ветви гиперболы касаются сторон прямоугольника ровно в их серединах.

Пример: получено уравнение гиперболы

Преобразования осуществляются аналогично №1. Получаем .

На координатной плоскости строим искомый прямоугольник и проведем асимптоты. Так как в правой части уравнения -1, то гипербола будет располагаться сверху и снизу от асимптот.

Вырожденные случаи:

ü Если получилось уравнение вида , то данное уравнение задает две прямые, которые пересекаются в точке (говорят, что эллипс вырождается в свои асимптоты).

Уравнение этих асимптот можно получить, разложив на множители левую часть при помощи формулы разности квадратов.

Пример 2: получено уравнение

Разложим на множители:

Получаем две прямые

3) Параболический тип

Общий вид: или , где

Канонический вид: или , где

Первое уравнение – знакомая парабола, построение ее не вызовет сложностей. Второе уравнение – непривычно. Самый простой способ построения такого типа парабол – поменять местами x и y, построить параболу, а затем построить симметричную ей относительно биссектрисы 1 и 2 четверти.

Пример: получено уравнение параболы

Поменяем переменные местами: -эта парабола построена оранжевым цветом. Далее симметрично отображаем ее относительно прямой у=х, и получаем искомую параболу (голубого цвета).

Вырожденные случаи:

ü Если в уравнении отсутствует одна из переменных или

Тогда уравнение приводиться к виду:

или же .

Далее возможны случаи:

1) Если D>0, тогда уравнение можно представить в виде:

или же

Графиком будет являться пара параллельных прямых:

или же

2) Если D=0, то графиком будет две совпавших прямых (то есть одна) х=х₁

3) Если D<0, тогда на действительной координатной плоскости нет точек, которые удовлетворяли данному уравнению, и, соответственно, графика нет.