Кривые второго порядка
- линии на плоскости, заданные уравнением вида 
, где хоть один из коэффициентов А и С не равен нулю.
Различают три типа кривых второго порядка:
· Эллиптический
· Гиперболический
· Параболический
Эллиптический тип
Общий вид: 
, где 
Канонический вид: 
Чтобы построить эллипс, необходимо привести данное уравнение к каноническому виду:
, где 
После этого необходимо построить на координатной плоскости прямоугольник со сторонами 2а (по оси х) и 2b (по оси у) и центром в точке 
, и в него вписывается эллипс.
Пример: получено уравнение эллипса 
Приведем его к каноническому виду: 
. Откуда получаем, что стороны прямоугольника (так называемые полуоси эллипса) равны: 
, центр его будет в точке (3;-2)
На координатной плоскости строим искомый прямоугольник
И далее – вписываем в него эллипс:
Вырожденные случаи:
ü Если получилось уравнение вида 
, то данное уравнение задает точку на плоскости с координатой (говорят, что эллипс вырождается в точку).
ü Если получилось уравнение вида 
, то данное уравнение не имеет решений и не задает на плоскости ни одной точки.
2) Гиперболический тип
Общий вид: 
, где 
Канонический вид: 
Чтобы построить гиперболу, необходимо привести данное уравнение к каноническому виду:
, где
После этого необходимо построить на координатной плоскости прямоугольник со сторонами 2а (по оси х) и 2b (по оси у) и центром в точке . Прямые, содержащие диагонали и есть асимптоты гиперболы. Дальше – все зависит от знака правой части:
§ Если справа +1, то ветви гиперболы будут располагаться слева и справа от асимптот
Если справа -1, то ветви гиперболы будут располагаться сверху и снизу от асимптот
Пример: получено уравнение гиперболы 
Приведем его к каноническому виду: 
. Откуда получаем, что стороны прямоугольника (так называемые полуоси гиперболы) равны: , центр ее будет в точке (3;-2)
На координатной плоскости строим искомый прямоугольник и проведем асимптоты. Так как в правой части уравнения +1, то гипербола будет располагаться справа и слева от асимптот. Причем ветви гиперболы касаются сторон прямоугольника ровно в их серединах.
Пример: получено уравнение гиперболы 
Преобразования осуществляются аналогично №1. Получаем 
.
На координатной плоскости строим искомый прямоугольник и проведем асимптоты. Так как в правой части уравнения -1, то гипербола будет располагаться сверху и снизу от асимптот.
Вырожденные случаи:
ü Если получилось уравнение вида 
, то данное уравнение задает две прямые, которые пересекаются в точке (говорят, что эллипс вырождается в свои асимптоты).
Уравнение этих асимптот можно получить, разложив на множители левую часть при помощи формулы разности квадратов.
Пример 2: получено уравнение 
Разложим на множители: 
Получаем две прямые 
3) Параболический тип
Общий вид: 
или 
, где 
Канонический вид: 
или 
, где
Первое уравнение – знакомая парабола, построение ее не вызовет сложностей. Второе уравнение – непривычно. Самый простой способ построения такого типа парабол – поменять местами x и y, построить параболу, а затем построить симметричную ей относительно биссектрисы 1 и 2 четверти.
Пример: получено уравнение параболы 
Поменяем переменные местами: 
-эта парабола построена оранжевым цветом. Далее симметрично отображаем ее относительно прямой у=х, и получаем искомую параболу (голубого цвета).
Вырожденные случаи:
ü Если в уравнении отсутствует одна из переменных 
или 
Тогда уравнение приводиться к виду:
или же 
.
Далее возможны случаи:
1) Если D>0, тогда уравнение можно представить в виде:
или же 
Графиком будет являться пара параллельных прямых:
или же 
2) Если D=0, то графиком будет две совпавших прямых (то есть одна) х=х1
3) Если D<0, тогда на действительной координатной плоскости нет точек, которые удовлетворяли данному уравнению, и, соответственно, графика нет.
