Металл для газа свободных электронов представляет собой трехмерную потенциальную яму. Поскольку электроны имеют спин равный 1/2 и подчиняются статистике Ферми-Дирака, т.е. для них справедлив принцип Паули, то при Т=0 К все состояния с энергиями ниже некоторой, называемой энергией Ферми EF, заняты, причем на каждом уровне может быть не более двух электронов. Положение уровня Ферми зависит от концентрации свободных электронов:
При температурах T>0 К уровень Ферми сдвигается в соответствие с формулой
.
Однако этот сдвиг очень мал (при Т=300К отличие от Т=0 К составляет лишь 0,002%) и можно считать, что положение уровня Ферми в металлах с температурой не изменяется.
При повышении температуры электроны должны увеличить свою энергию на kT, что соответствует переходу в состояния с более высокой энергией. Так как состояния ниже уровня Ферми заняты, то основная часть электронов не может изменить свою энергию и лишь их малое количество с энергиями вблизи энергии Ферми может перейти на вышележащие уровни энергии. Эта часть составляет примерно 2kT/EF. Поэтому энергия электронов единицы объема должна быть порядка
,
а электронная часть теплоемкости
где n – концентрация свободных электронов в металле.
Для одного моля электронов n=NA и
Более аккуратный расчет дает вместо коэффициента 3 величину π2/2:
.
Поскольку энергия Ферми EF в металлах практически не зависит от температуры, концентрация свободных электронов n также изменяется слабо, то электронная теплоемкость металла оказывается прямо пропорциональной температуре Cэл ~ T.
Вклад подсистем металла в теплоёмкость модно оценить по отношению Cф/Сэл, которое при комнатных температурах и выше имеет порядок EF/kT. Энергия Ферми при типичной концентрации свободных электронов в металле 5·1028 м-3 равна 5 эВ, тепловая энергия kT≈0,025 эВ. Поэтому Cф/Сэл ~ 200, т.е. теплоемкость металлов при комнатной температуре и выше определяется теплоемкостью кристаллической решетки. Однако при низких температурах в силу линейной зависимости Сэл от температуры она может стать доминирующей. Обычно решеточная и электронная теплоемкости сравниваются при температуре в несколько Кельвинов.
Результаты
а)
| t,сек | T |
| 29,5 | |
| 30,5 | |
| 30,5 | |
| 30,5 | |
| 30,5 | |
| 5,5 | |
| 6,5 | |
| 33,2 | |
| 7,5 | 33,5 |
| 33,6 | |
| 8,5 | 33,5 |
| 33,5 | |
| 9,5 | 33,5 |
| 33,5 | |
Рис.2. Зависимость температуры калориметра от времени.
б) Из уравнения теплового баланса
следует выражение для расчета теплоемкости металла
,
где cв =4,187 Дж/(г К)– удельная теплоемкость воды, tºкип=100 ºС– температура кипения воды, Сk=66±1 Дж/К – теплоемкость калориметра, где tºk1, tºk2 – температура калориметра до и после внесения металла.
, значит, можно предположить, что исследуемый металл был алюминий.
| Металл | mMe, г | mв, г | с, Дж/(г К) | Сμ,, Дж/(г К) | С/С∞ |
| аллюминий | 77,5 | 285,6 | 0,86 |
Вывод: мы экспериментально определили теплоемкость металлов при комнатной температуре и сравнили с теоретическими данными. Результаты оказались очень близкими.
