II Электронная теплоемкость

Металл для газа свободных электронов представляет собой трехмерную потенциальную яму. Поскольку электроны имеют спин равный 1/2 и подчиняются статистике Ферми-Дирака, т.е. для них справедлив принцип Паули, то при Т=0 К все состояния с энергиями ниже некоторой, называемой энергией Ферми E_F, заняты, причем на каждом уровне может быть не более двух электронов. Положение уровня Ферми зависит от концентрации свободных электронов:

При температурах T>0 К уровень Ферми сдвигается в соответствие с формулой

.

Однако этот сдвиг очень мал (при Т=300К отличие от Т=0 К составляет лишь 0,002%) и можно считать, что положение уровня Ферми в металлах с температурой не изменяется.

При повышении температуры электроны должны увеличить свою энергию на kT, что соответствует переходу в состояния с более высокой энергией. Так как состояния ниже уровня Ферми заняты, то основная часть электронов не может изменить свою энергию и лишь их малое количество с энергиями вблизи энергии Ферми может перейти на вышележащие уровни энергии. Эта часть составляет примерно 2kT/E_F. Поэтому энергия электронов единицы объема должна быть порядка

,

а электронная часть теплоемкости

где n – концентрация свободных электронов в металле.

Для одного моля электронов n=N_A и

Более аккуратный расчет дает вместо коэффициента 3 величину π²/2:

.

Поскольку энергия Ферми E_F в металлах практически не зависит от температуры, концентрация свободных электронов n также изменяется слабо, то электронная теплоемкость металла оказывается прямо пропорциональной температуре C_эл ~ T.

Вклад подсистем металла в теплоёмкость модно оценить по отношению C_ф/С_эл, которое при комнатных температурах и выше имеет порядок E_F/kT. Энергия Ферми при типичной концентрации свободных электронов в металле 5·10²⁸ м^-3 равна 5 эВ, тепловая энергия kT≈0,025 эВ. Поэтому C_ф/С_эл ~ 200, т.е. теплоемкость металлов при комнатной температуре и выше определяется теплоемкостью кристаллической решетки. Однако при низких температурах в силу линейной зависимости С_эл от температуры она может стать доминирующей. Обычно решеточная и электронная теплоемкости сравниваются при температуре в несколько Кельвинов.

 

Результаты

а)

 

t,сек	T
	29,5
	30,5
	30,5
	30,5
	30,5
5,5
6,5
	33,2
7,5	33,5
	33,6
8,5	33,5
	33,5
9,5	33,5
	33,5

Рис.2. Зависимость температуры калориметра от времени.

 

б) Из уравнения теплового баланса

следует выражение для расчета теплоемкости металла

,

где c_в =4,187 Дж/(г К)– удельная теплоемкость воды, tº_кип=100 ºС– температура кипения воды, С_k=66±1 Дж/К – теплоемкость калориметра, где tº_k1, tº_k2 – температура калориметра до и после внесения металла.

 

, значит, можно предположить, что исследуемый металл был алюминий.

 

Металл	mMe, г	mв, г	с, Дж/(г К)	Сμ,, Дж/(г К)	С/С∞
аллюминий	77,5	285,6	0,86

 

Вывод: мы экспериментально определили теплоемкость металлов при комнатной температуре и сравнили с теоретическими данными. Результаты оказались очень близкими.