УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
Ограниченность теории дальнодействия. Гипотеза Максвелла. Вихревое электрическое поле. Ток смещения. Система уравнений Максвелла для электромагнитных полей в интегральной форме. Закон неразрывности заряда.
1. Открытое Фарадеем явление электромагнитной индукции поставило вопрос о природе ЭДС в неподвижном контуре, находящемся в переменном магнитном поле.
1.1. Максвелл предложил гипотезу, в соответствии с которой всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в контуре.
1.2. Теория Максвелла:
1.2.1. Последовательная теория единого электромагнитного поля произвольной системы электрических зарядов и токов.
1.2.2. Решает основную задачу электродинамики – по заданному распределению зарядов и токов определяются характеристики их электрического и магнитного полей.
1.2.3. Является обобщением важнейших законов для электрических и электромагнитных явлений – теоремы Остроградского-Гаусса, закона полного тока, закона электромагнитной индукции.
1.2.4. Феноменологическая – в ней не рассматривается дискретное строение среды и механизм процессов, происходящих в среде в электромагнитном поле. Свойства среды – относительная диэлектрическая проницаемость, относительная магнитная проницаемость и удельная электрическая проводимость (известны из опыта).
1.2.5. Макроскопическая – в ней изучаются макроскопические электромагнитные поля таких систем зарядов и токов, пространственные размеры которых много больше размеров атомов и молекул.
1.2.6. Является теорией близкодействия – электрические и магнитные взаимодействия осуществляются посредством электромагнитного поля и распространяются со скоростью света
1.3. Макроскопические поля в теории Максвелла представляют собой усредненные непрерывно изменяющиеся микрополя, создаваемые микроскопическими зарядами и токами. Усреднение производится по интервалам времени, значительно превышающим периоды внутриатомных процессов, и по объемам, значительно превышающим размеры атомов и молекул.
2. Первое уравнение Максвелла является обобщением закона электромагнитной индукции, которое в интегральной форме имеет вид
2.1. Из выражения для магнитного потока следует
→ 
Интеграл в правой части является функцией только от времени.
2.2. Неравенство нулю циркуляции вектора напряженности электрического поля по замкнутому контуру означает, что возбуждаемое переменным магнитным полем электрическое поле является вихревым, как и само магнитное поле.
2.3. Из первого уравнения Максвелла следует, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле.
2.4. По теореме Стокса в векторном анализе
где ротор вектора Е выражается определителем
что позволяет записать первое уравнение Максвелла в дифференциальном виде
3. Второе уравнение Максвелла представляет собой обобщение закона полного тока.
3.1. Второе уравнение Максвелла основано на предположении, что всякое изменение электрического поля вызывает возникновение в окружающем пространстве вихревого магнитного поля.
3.2. Количественной мерой магнитного действия переменного электрического поля является ток смещения.
Током смещения сквозь произвольную замкнутую поверхность S называется физическая величина, равная потоку вектора плотности тока смещения сквозь эту поверхность
с плотностью тока смещения
где D – вектор электрического смещения.
3.4. Токи смещения проходят по тем участкам цепи переменного тока, где отсутствуют проводники (например, между обкладок конденсатора).
3.5. В диэлектрике вектор электрического смещения равен
где Р – вектор поляризованности.
Тогда плотность тока смещения
где 
– плотность тока смещения в вакууме, а 
– плотность тока поляризации (смещение зарядов в молекулах неполярных диэлектриков или поворот диполей полярных диэлектриков).
3.6. Токи смещения не сопровождаются выделением теплоты.
3.7. Второе уравнение Максвелла в интегральной форме имеет вид
3.8. По теореме Стокса
а полный ток
вследствие чего в дифференциальном виде второе уравнение Максвелла имеет вид
4. Для областей поля, где нет макротоков
|
где знак минус в первом уравнении Максвелла означает, что вектора Н и dD/dt соответствуют правовинтовой системе, а вектора Е и dB/dt – левовинтовой.
5. Третье и четвертое уравнения Максвелла представляют собой обобщения теоремы Остроградского-Гаусса для электрического и магнитного полей
5.1. В интегральной форме эти уравнения имеют вид
где величина свободных зарядов, охватываемых замкнутой поверхностью S выражается через объемную плотность заряда
5.2. По теореме Гаусса из векторного анализа
где дивергенция вектора определяется выражением
5.3. В дифференциальной форме третье и четвертое уравнения Максвелла имеют вид
где 
– объемная плотность свободных зарядов в рассматриваемой точке поля.
6. Полная система уравнений Максвелла включает четыре уравнения
1. 2.
3. 4.
6.1. Из первых двух уравнений следует, что переменные электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом, образуя единое электромагнитное поле. Разные знаки в правых частях первых двух уравнений обеспечивают устойчивость электромагнитного поля.
6.2. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме предполагают, что все величины в пространстве и времени изменяются непрерывно. Если же существуют поверхности разрыва (где свойства среды меняются скачком), то более общей является система интегральных уравнений.
6.3. Для стационарных электрического и магнитного полей
и, следовательно, эти поля существуют независимо друг от друга и описываются соответственно уравнениями электростатики
и магнитостатики
6.4. Систему уравнений Максвелла необходимо дополнить " материальными уравнениями ", которые характеризуют электрические и магнитные свойства среды
а также граничными условиями
где σ – поверхностная плотность свободных зарядов, а 
– вектор линейной плотности поверхностного тока проводимости.
