Дифференциальное исчисление функции одной переменной

УТВЕРЖДАЮ

Зав. каф. ЕНиОПД, к.ф.-.м.н.

_____________Е.М. Карасев

 

Список вопросов

рассмотрен и одобрен на

заседании кафедры ЕНиОПД

«_____»____________ 2011 г.

(протокол № _____)

Вопросы к зачету

Дисциплина «Математика» (ОЗО СФ)

1 курс 1 семестр

Линейная алгебра

Матрица. Сложение, вычитание, умножение матрицы на число, умножение матриц. Определители 2-го, 3-го и n-го порядков. Их свойства. Единичная матрица. Транспонированная матрица. Минор матрицы. Алгебраическое дополнение элемента определителя. Обратная матрица. Вырожденная и невырожденная матрицы. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц.

Системы линейных уравнений. Однородная и неоднородная системы уравнений. Совместная и несовместная системы уравнений. Матричное решение системы уравнений. Основная и расширенная матрицы системы уравнений. Формулы Крамера. Тривиальное и нетривиальное решения однородной системы уравнений. Метод Гаусса. Общее и частное решения.

Векторная алгебра

Определение вектора. Единичный вектор. Нулевой вектор. Коллинеарные и равные векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение двух векторов и его свойства. Компланарные векторы.

Вывод формулы расстояния между точками в трехмерном пространстве. Угол между векторами и направляющие косинусы в трехмерном пространстве

Векторное произведение двух векторов и его основные свойства. Физический смысл векторного произведения.

Смешанное произведение трех векторов и его основные свойства. Геометрический смысл смешанного произведения.

Аналитическая геометрия

Уравнения прямой линии на плоскости: уравнение прямой с данным угловым коэффициентом и проходящей через данную точку. Угол между двумя прямыми. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

Уравнения плоскости в трехмерном пространстве. Вектор нормали. Частные случаи уравнения плоскости. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Прямые в трехмерном пространстве и их уравнения. Полярная система координат.

Эллипс. Вывод канонического уравнения эллипса. Фокусы, вершины, эксцентриситет, директрисы эллипса. Оптическое свойство эллипса.

Гипербола. Вывод канонического уравнения гиперболы. Полуоси, вершины, эксцентриситет, директрисы, асимптоты гиперболы. Оптическое свойство гиперболы.

Парабола. Вывод канонического уравнения параболы. Рассмотреть все виды, являющиеся каноническими. Фокус и директриса параболы. Оптическое свойство параболы.

Теория пределов

Числовые множества. Арифметические операции над числовыми последовательностями. Ограниченная и неограниченная последовательности. Бесконечно большая и бесконечно малая последовательности. Предел числовой последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Предельный переход в неравенствах. Монотонные последовательности. Необходимое и достаточное условие сходимости монотонной последовательности. Принцип вложенных отрезков. Число е.

Понятие функции, способы ее задания. Обратная функция. Элементарные функции. Их свойства. Предел функции. Односторонние пределы. Теоремы о пределах. Теорема о промежуточной функции. Замечательные пределы.

Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Их основные свойства. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших.

Непрерывность функции. Определения на «языке последовательностей» и на «языке ». Свойства непрерывных в точке функций: непрерывность суммы, произведения, частного. Непрерывность сложной и обратной функций. Непрерывность элементарных функций. Свойства непрерывных на отрезке функций. Теоремы Вейерштрасса и Больцано- Коши. Точки разрыва функции и их классификации.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Производная. Ее геометрический и физический смысл. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции. Его геометрический смысл. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного. Дифференцирование сложной и обратной функции. Таблица производных простейших элементарных функций.

Основные теоремы дифференциального исчисления: теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Их доказательство и геометрический смысл. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.

Исследование поведения функций. Возрастание и убывание функций, точки экстремума. Необходимое и достаточное условия существования экстремума и их доказательство. Исследование функции на максимум и минимум с помощью второй производной. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба. Асимптоты. Общая схема построения графика функции.

Функции нескольких переменных. Частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных. Дифференцирование сложных функций нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Частные производные высших порядков.

Интегральное исчисление

Задача восстановления функции по ее производной. Первообразные функции и неопределенный интеграл. Таблица основных интегралов. Свойства неопределенного интеграла. Интегрирование заменой переменной и по частям. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование простейших иррациональных и трансцендентных функций.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Интегрируемость функции и определенный интеграл. Верхняя и нижняя суммы и их свойства. Критерий интегрируемости. Интегрируемость непрерывной функции, монотонной функции и функции, имеющей конечное число точек разрыва. Свойства определенного интеграла. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и замена переменной.

Квадрируемость плоской фигуры и ее площадь. Свойства квадрируемых фигур. Вычисление площади криволинейной трапеции и криволинейного сектора, заданного в полярных координатах. Спрямляемая дуга кривой и ее длина. Вычисление длины гладкой кривой. Вычисление объема и площади поверхности тела вращения. Приложения определенного интеграла в физике.

 

 

Составитель: д.ф.-м. н., профессор Калиев И.А.