ІII. Диференціальні рівняння

1. Означення диференціального рівняння.

 

2. Інтегральна крива.

Графік розв’язку ДР називається інтегральною кривою.

3. Загальний розв’язок диференціального рівняння.

Загальним розв'язком ДР першого порядку називається функція , що містить одну довільну постійну і задовольняє умовам:

1. Функція є розв'язком ДР при кожнім фіксованому значенні с.

2.Яке б не була початкова умова, можна знайти таке значення постійної , що функція задовольняє даній початковій умові

4. Частковий розв’язок диференціального рівняння.

Частинним розв'язком ДР першого порядку називається будь-яка функція , отримана з загального розв'язку при конкретному значенні постійної

5. Теорема існування та єдиності розв’язку рівняння першого порядку.

 

6. Диференціальні рівняння з розділеними змінними.

Найбільш простим ДР першого порядку є, рівняння виду

У ньому один доданок залежить тільки від , а інший — від . Іноді такі ДР називають рівняннями з відокремленими змінними.

7. Означення однорідної функції.

Функція f(x;y) називається однорідною функцією -го порядку (виміру), якщо при множенні кожного її аргументу на довільний множник λ вся функція збільшиться на λⁿ, тобто .

8. Однорідні диференціальні рівняння.

Диференціальне рівняння називається однорідним, якщо функція є однорідна функція нульового порядку.

9. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.

Диференціальне рівняння першого порядку називається лінійним, якщо його можна записати у вигляді ,

10. Означення лінійного диференціального рівнянння зі сталими коефіцієнтами.

 

11. Фундаментальна система розв’язків лінійного рівняння зі сталими коефіцієнтами.

 

12. Характеристичне рівняння і характекристичні числа.

 

13. Розв’язки однорідного рівняння з сталими коефіцієнтами у випадку дійсного характеристичного числа.

 

14. Випадок комплексних характеристичних чисел.

 

15. Загальний розвязок однорідного рівняння зі сталими коефіцієнтами.

 

16. Розв’язок лінійного неоднорідного рівняння з сталими коефіцієнтами.

 

IV. Ряди

1. Означення числового ряду.

Числовим рядом називається вираз

2. Частинні суми ряду.

Сума перших членів ряду (1.1) називається -ою частинною сумою ряду і позначається через , тобто .

3. Збіжний, розбіжний ряди.

Ряд збіжний якщо існує скінченна границя, ряд розбіжний якщо границя дорівнює нескінченності

4. Необхідна умова збіжності ряду.

Якщо ряд збігається, то його загальний член и прямує до нуля, тобто = 0.

5. Геометричний ряд.

, який називається рядом геометричної прогресії.

6. Властивості геометричного ряду.

1. Якщо | | < 1, ряд збігається

2. Якщо | | > 1 або | | = 1, ряд розбіжний

7. Гармонійний ряд.

8. Узагальнено гармонійний ряд.

 

 

9. Властивості узагальнено гармонійних рядів.

Ряд збігається при , розбіжний при

10. Ознака порівняння збіжності рядів з додатніми членами.

 

11. Ознака Даламбера.

Нехай дано ряд з додатніми членами і існує нескінченна границя Тоді ряд збігається при <1 і розбіжний при > 1

12. Ознака Коші.

Нехай даний ряд з додатними членами і існує нескінченна границя Тоді ряд збігається при <1 і розбіжний при .

13. Знакозмінні ряди.

Законозмінний ряд це ряд члени якого є довільні числа довільного знака.

14. Ознака Лейбніца.

Р яд збігається, якщо послідовність абсолютних величин членів ряду монотонно спадає, тобто

15. Абсолютно збіжні ряди.

Знакозмінний ряд називається тим, що абсолютно збігається, якщо ряд, складений з модулів його членів, збігається.

16. Умовно збіжні ряди.

Знакозмінний ряд називається тим, що умовно збігається, якщо сам він збігається, а ряд, складений з модулів його членів, розбіжний.

17. Степеневі ряди.

18. Радіус збіжності степеневого ряду.