Раздел 4. Функции нескольких переменных и дифференциальные уравнения.

Функции нескольких переменных. Функции двух переменных, их геометрическое изображение, линии уровня. Окрестность точки на плоскости. Расстояние между двумя точками на плоскости.Непрерывность функции двух переменных. Частное и полное приращение функции.

 

Непрерывность функции в точке и в области. Частные производные первого порядка. Геометрический смысл частных производных первого порядка. Полный дифференциал функции двух переменных. Теорема о связи дифференцируемости и непрерывности функции двух переменных. Теорема о представлении полного дифференциала. Достаточное условие дифференцируемости. Частные производные высших порядков. Теорема о независимости значения производной от порядка дифференцирования. Признак полного дифференциала. Экстремум функции двух переменных, точки экстремума. Необходимое условие экстремума. Критические точки. Достаточное условие экстремума. Условный экстремум.Применение частных производных в экономике.

Дифференциальные уравнения. Дифференциальное уравнение, его порядок. Решение дифференциального уравнения. Общее и частное решение дифференциального уравнения, интегральная кривая. Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения первого порядка, нормальная форма. Задача Коши, начальные условия. Теорема о существовании и единственности задачи Коши. Уравнения с разделяющимися переменными. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Однородные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Общие понятия. Задача Коши. Теорема о представлении общего решения. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Общие понятия. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами второго порядка. Характеристическое уравнение. Линейно зависимые решения. Теорема о представлении общего решения линейного однородного уравнения второго порядка. Дифференциальные уравнения в экономике.

 

Вопросы и задачи для самостоятельной работы 1. Пусть даны два множества: Найти . 2. Даны два множества: . Какое из них является подмножеством другого? 3. Из сегмента[-3, 5] удален интервал (-3, 5). Что осталось? 4. Какова наибольшая окрестность нуля, содержащаяся в промежутке [-6, 5]? 5.Указать на числовой оси множества, заданные неравенствами: . 6. Какие значения удовлетворяют одновременно неравенствам ? 7. Дана функция . Найти . 8. Дана функция . Доказать, что 9. Построить график функции   10. Найти область определения функций: 11. Какие из данных функций являются четными, какие нечетными: .

12. Пользуясь определением предела числовой последовательности на языке

«», доказать, что последовательность - бесконечно

малая. Каково должно быть N, если ?

13. Является ли последовательность сходящейся?

14. Какие из точек x = - 2, x = 3, x = 5, x = 5,2 являются

предельными точками множества ?

15. Является ли функция бесконечно малой

при ?

16. Определить существует ли предел следующих функций:

при ;

при .

 

 

17. Непрерывна ли функция на [-2,2]?

18. Почему можно утверждать, что функция

непрерывна на множестве R?

19. Установить, в каких точках и какого рода разрывы имеют

следующие функции:

,

 

.

 

20. Доопределить функцию в точке х=0 таким образом,

чтобы она стала непрерывной в этой точке.

21. Найти точки разрыва функции . Построить график этой

функции.

22.Можно ли утверждать, что квадрат разрывной функции есть также

разрывная функция? Проверить это на примере .

 

23. Пользуясь определением производной, найти производные

следующих функций:

a. ;

b. ;

c. .

24. На параболе есть такая точка, в которой касательная наклонена к положительному направлению оси ОХ под углом 60⁰. Найти эту точку. Составить уравнение касательной.

25. Найти дифференциалы следующих функций:

d. ,

e. ,

f. .

26. Найти приближенно значение функций:

g. при х = 3,015;

h. при х = 1,001.

27. На сколько уменьшится величина степени 3⁴, если основание

уменьшится на 0,0063?

28. Показать, что функция не является дифференцируемой

в точке х = 0.

29. Убедиться, что , но он не может быть вычислен

с помощью правила Лопиталя. Почему?

 

30. В формуле Лагранжа о конечном приращении функции

определить значение с: на отрезке [0,2].

31. Можно ли на отрезке [-1,1] применить к функции

теорему Роля; теорему Лагранжа?

32. Доказать тождество при .

33. Может ли значение функции в точке локального максимума

быть меньше значения функции в точке локального минимума?

34. Может ли монотонная функция иметь экстремум?

35. Может ли функция иметь экстремум в точке, в которой она

имеет перегиб?

36. Может ли иметь асимптоты и какие график ограниченной

функции?

37. Может ли иметь асимптоты и какие график функции, заданной

на ограниченном промежутке?

38. При каких значениях a и b точка (1;3) является точкой

перегиба графика функции ?

39. Исследовать сходимость знакопостоянных рядов:

a) ;

b) ;

 

c) ;

d) ;

e) ;

f) ;

g) ;

h) .

40. Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными:

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) ;

f) ;

g) ;

h) ;

 

 

i) ;

j) .

41. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения:

.

42.Определить порядок дифференциального уравнения:

а) ;

b) ;

c) .

43.Найти дифференциальное уравнение, для которого функция

является общим решением.

44. Найти дифференциальное уравнение, для которого функция является общим решением.

45. Найти дифференциальное уравнение, для которого функция является общим решением.

46. Дано общее решение дифференциального уравнения.

. Найти частные решения в случае:

а) ;

 

b) ;

c) .

47. Решить линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

а) ;

b) ;

c) .

48. Решить неоднородные линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) ;

f) ;

g) .

49. Решить задачу Коши:

a) (0,0);

b) (1,5);

c) (,1);

 

 

d) (0,1);

e) (-1,1;

f) (,1).

50. Показать, что заданная функция является решением (общим решением) дифференциального уравнения:

a) : .

b) : .

51. Является ли функция общим решением дифференциального уравнения?

a) : ;

b) : ;

c) : .