Канонические уравнения. Окружность

5.

Формула интегрирования по частям и формула – это два взаимно обратных правила. Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция представима в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы для неопределённого интеграла:

для определённого: .

6. Целой функцией называется многочлен (полином)

Простейшими рациональными дробями являются рациональные дроби:

 

1)

 

2)

 

3)

7. Определённый интеграл. Определённый И. функции f (x) с нижним пределом а и верхним пределом b можно определить как разность F(b) - F(a) значений первообразной F(x) в предельных точках. Определение не зависит от того, какая из первообразных выбрана для вычисления определённого И.

8. Теорема 1. Если f(x) и g(x) - две непрерывные функции, заданные на промежутке [a, b], то

т. е. интеграл суммы равен сумме интегралов слагаемых.

Теорема2. Если f(x) - непрерывная функция, а c - постоянное число, то т. е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Теорема 3. Пусть f(x) непрерывна на промежутке [a, b]. Если этот промежуток точкой c разложен на части [a, c] и [c, b], то интеграл по всему промежутку оказывается равным сумме интегралов по его частям, т. е.

9. Численное интегрирование (историческое название: (численная) квадратура) — вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое). Под численным интегрированием понимают набор численных методов отыскания значения определённого интеграла.Численное интегрирование применяется, когда:Сама подынтегральная функция не задана аналитически. Например, она представлена в виде таблицы (массива) значений в узлах некоторой расчётной сетки.Аналитическое представление подынтегральной функции известно, но её первообразная не выражается через аналитические функции.

Например, f(x) = exp(− x2).В этих двух случаях невозможно вычисление интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом

10. Ппп

11. Если непрерывна на отрезке и — ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

Доказательство: Дадим некоторой, выбранной на отрезке [a,b], точке x приращение так, чтобы и . Тогда получаем это, согласно свойства определенного интеграла. Отсюда следует: . Интеграл по теореме о среднем, равен где .ТО откуда

12. пределенный интеграл по переменной x можно преобразовать в определенный интеграл относительно переменной t с помощью подстановки x = g (t): Новые пределы интегрирования по переменной t определяются выражениями где g -1 - обратная функция к g, т.е. t = g -1(x). Интегрирование по частям для определенного интеграла В этом случае формула интегрирования по частям имеет вид: где означает разность значений произведения функций uv при x = b и x = a.

Пример Вычислить интеграл. Решение. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем

13. интегрирование по частям для определённого

В целом аналогично случаю неопределённого интеграла: ;

и .

 

Пример:

14. Площадь плоской фигуры, ограниченной областью D, находится по формуле

Если область определена в прямоугольной системе координат неравенством имеем Если область D определена в полярных координатах неравенством то

15. Пусть известна функция и требуется найти длину дуги. Для определения длины дуги необходимо вычислить определенный интеграл: Рассмотрим случай параметрического задания кривой где . В этом случае для определения длина дуги вычисляется определенный интеграл: . когда кривая задается в полярных координатах где Тогда для определения длины дуги вычисляется следующий определенный интеграл:

16. Вычисление объемов тел Пусть задано тело объемом V, причем имеется такая прямая (рис. 1), что, какую бы плоскость, перпендикулярную этой прямой, мы ни взяли, нам известна площадь S сечения тела этой плоскостью. Но плоскость, перпендикулярная оси Ох, пересекает ее в некоторой точке х. Следовательно, каждому числу х (из отрезка [а; b] см. рис. 1) поставлено в соответствие единственное число S (х) — площадь сечения тела этой плоскостью. Тем самым на отрезке [а; b] задана функция S (х). Если функция S непрерывна на отрезке [а; b] то справедлива формула азобьем отрезок [а; b] на n отрезков равной длины точками x0 = a <x1 <x2 <... <xn-1 <b=хn, и пусть Через каждую точку хk проведем плоскость, перпендикулярную оси Ох. Эти плоскости разрезают заданное тело на слои (рис. 2, а, б). Объем слоя, заключенного между плоскостями αk-1 и αk, при достаточно больших n приближенно равен площади S(xk-1) сечения, умноженной на «толщину слоя» Δx, и поэтому Точность этого приближенного равенства тем выше, чем тоньше слои, на которые разрезано тело, т. е. чем больше n. Поэтому Vn →V при n → ∞. По определению интеграла

17. Площадь поверхности тел вращения

ПОВЕРХНОСТЬ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ.

Пусть дана поверхность, образованная вращением кривой y=f(x) вокруг оси Ох.

Определим площадь этой поверхности на участке а ≤ х ≤ b. Функцию f(x) предположим непрерывной и имеющей непрерывную производную во всех точках отрезка [a;b]. Проведем хорды АМ1, М1М2,….Мn-1B длины которых обозначим через ΔS1, ΔS2… ΔSn (рис. 1). Каждая хорда длины ΔSi (i=1,2,….n) при вращении опишет усеченный конус, поверхность которого ΔPi равна:

Применяя теорему Лагранжа получим:

Формула определяет площадь Р поверхности теля вращения возникающего в результате вращения вокруг оси x кривой, заданной на отрезке а ≤ x ≤ b неотрицательной, непрерывно дифференцируемой функцией f(x)

18. ________________

19. Вывод формулы момента инерции кольца. Пусть R и r --- внешний в внутренний радиусы кольца, M и m --- массы дисков из того же материала, что кольцо, радиусами R и r. Известно, что моменты инерции таких дисков относительно осей, перпендикулярных дискам и проходящих через их центры масс, равны и . (Если это необходимо пояснить, переспросите.) Представим теперь большой диск как наше кольцо и малый диск внутри кольца. Воспользовавшись аддитивностью массы и момента инерции, можно записать / Кроме того, массы дисков, очевидно, пропорциональны квадратам их радиусов Из трех последних уравнений исключаем M и m и выражаем :

20. Вычисление работы с помощью определенного интеграла Работа силы - это мера действия силы, зависящая от её модуля и направления а также от перемещения точки приложения силы. Для постоянной силы и прямолинейного перемещения работа опеределяется равенством:а = F |r1-r2| cos альфа. где F сила действующая на тело, р1-р2 перемещение, альфа -угол между силой и перемещением.измеряется в джоулях.

21. Паскаля закон, закон гидростатики, согласно которому давление на поверхность жидкости, произведённое внешними силами, передаётся жидкостью одинаково во всех направлениях. p — гидростатическое давление (абсолютное или избыточное) в произвольной точке жидкости. ρ — плотность жидкости,g — ускорение свободного падения,z — высота точки над плоскостью сравнения (геометрический напор),H — гидростатический напор.Уравнение показывает, что гидростатический напор во всех точках покоящейся жидкости является постоянной величиной.

27. Бесконечно малая величина Последовательность an называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел — бесконечно малая.Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x0, если .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо .

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если, то f(x) − a = α(x),

Свойства бесконечно малых

Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.

Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.

Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.

Если an — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то — бесконечно большая последовательность.

28. ДИФФЕРЕНЦИАЛ – линейная часть приращения функции. Пусть функция y = f(x) дифференцируема на отрезке [a,b]. Производная этой функции в некоторой точке x отрезка [a,b] определяется равенством . Отношение стремится к определенному числу f ў(x) и, следовательно, отличается от производной f ў(x) на величину бесконечно малую:

 

Дифференциалы различных порядков.

Дифференциал функции y = f(x), где x – независимая переменная, есть dy = f ў(x)dx, некоторая функция от x, но от x может зависеть только первый сомножитель f ў(x), второй же сомножитель (dx) является приращением независимой переменной x и от значения этой переменной не зависит. Так как dy есть функция от x, то можно определить дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала функции называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d2y:

d(dy) = d²y = f ўў(x)(dx)².

Дифференциалом n-го порядка называется первый дифференциал от дифференциала n- 1-го порядка:

dⁿy = d(dⁿ–1y) = f⁽ⁿ⁾⁽x)dx⁽ⁿ⁾.

В этом случае: полный дифференциал df

29. 1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку A(x₁, y₁) в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом k,

y - y₁ = k(x - x₁). (1)

Это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку A(x₁, y₁), которая называется центром пучка.

2. Уравнение прямой, проходящей через две точки: A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂), записывается так: =

30. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. Пусть на плоскости хОу дана прямая. Проведем через начало координат перпендикуляр к данной прямой и назовем его нормалью. Обозначим через Р точку пересечения нормали с данной прямой и установим положительное направление нормали от точки О к точке Р. Если -a полярный угол нормали, р - длина отрезка , то уравнение данной прямой может быть записано в виде

уравнение этого вида называется нормальным.

Общее уравнение прямой.

Рассмотрим уравнение первой степени относительно x и y в общем виде

где А, В, С — произвольные числа, причем А и В не равны нулю одновременно.

Покажем, что уравнение есть уравнение прямой линии. Возможны два случая.

Если В = 0, то уравнение имеет вид Ах + С = О, причем А ¹ 0 т. е. . Это есть уравнение прямой, параллельной оси Оу и проходящей через точку ·

Если B ¹ 0, то из уравнения получаем . Это есть уравнение прямой с угловым коэффициентом |.

Итак, уравнение есть уравнение прямой линии, оно называется общим уравнением прямой.

Некоторые частные случаи общего уравнения прямой:

1) если А = 0, то уравнение приводится к виду . Это есть уравнение прямой, параллельной оси Ох;

2) если В = 0, то прямая параллельна оси Оу;

3) если С = 0, то получаем . Уравнению удовлетворяют координаты точки O(0;0), прямая проходит через начало координат.

32 Расстояние точки A(x₁, y₁) до прямой Ax + By + C = 0 есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Она определяется по формуле Правило. Чтобы определить расстояние точки A(x₁, y₁) до прямой Ax + By + C = 0, нужно привести уравнение прямой к нормальному виду, взять левую часть полученного уравнения и подставить в нее вместо текущих координат координаты данной точки. Абсолютная величина полученного числа и даст искомое расстояние: d=Ix₁ cosβ+y₁ sin β-P I,

Расстояние от точки до прямой есть всегда величина положительная. Кроме расстояния от точки до прямой, рассматривается еще так называемое отклонение точки от прямой.Отклонение данной точки от данной прямой есть расстояние от этой точки до прямой, которому приписывается знак плюс, если точка и начало координат находятся по разные стороны от прямой, и знак минус, если точка и начало координат находятся по одну сторону от прямой.

Расстояние от точки до прямой есть абсолютная величина отклонения этой точки от прямой.

Канонические уравнения. Окружность

Окружность радиуса R с центром в начале координат:

Уравнение касательной к окружности в произвольной точке

Параметрические уравнения:

Окружность радиуса R с центром в точке C(a; b):
элипс Пусть на плоскости заданы две точки F1 и F2 и дано число a (a > c). Эллипс - множество точек M плоскости, для каждой из которых сумма расстояний от точек F1 и F2 равна 2a. ТочкиF1 и F2 называются фокусами эллипса; - большая ось; - малая ось; O - центр; - левый и правый фокусы; - вершины; - фокальные радиусы;

Каноническое уравнение:

Эксцентриситет:

34. Гипербола Пусть на плоскости заданы две точки F1 и F2 и дано число a (0 < a < c). Гипербола - множество точек M плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний от точек F1и F2 равен 2a. Точки F1 и F2 называются фокусами гиперболы; - действительная ось; - мнимая ось; O - центр; - левый и правый фокусы; - вершины; - фокальные радиусы:

Каноническое уравнение:

Эксцентриситет: Фокальные радиусы: для правой ветви , для левой ветви , Фокальный параметр: ,Уравнения директрис:

35. Парабола

Пусть на плоскости заданы точка F и прямая , не проходящая через F. Парабола - множество всех тех точек M плоскости, каждая из которых равноудалена от точки F и прямой . Точка F называется фокусом, прямая - директрисой параболы; (OF) - ось, O - вершина, - параметр, - фокус, - фокальный радиус.

 

Каноническое уравнение: . Эксцентриситет: . Фокальный радиус:

 

Уравнение директрисы:

36,37

Первый замечательный предел:

 

Второй замечательный предел:

 

Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые.

 

Если х то α и ß называются эквивалентными бесконечно малыми (при х→x0); это обозначается так: α~ß.

 

Например, sinx~х при х→0, т.к при x→0, т. к.