Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называютсябиениями.

Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны w и w +D w, причем D w << w. Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:

Складывая эти выражения и учитывая, что во втором сомножителе D w /2<< w, найдем

Результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое с частотой w, амплитуда А _б, которого изменяется по следующему периодическому закону:

Частота изменения А _б в два раза больше частоты изменения косинуса (так как берется по модулю), т. е. частота биений равна разности частот складываемых колебаний: Период биений

13 В продольных волнах частицы среды колеблются в направлении распространения волны, в поперечных — в плоскостях, перпендикулярных направлению распростране­ния волны.

Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими. Волновые поверхности могут быть любой формы, а в про­стейшем случае они представляют собой совокупность плоскостей, параллельных друг другу, или совокупность концентрических сфер. Соответственно волна называется плоской или сферической.

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны l Длина волны равна тому расстоянию, на которое распространяется определенная фаза колебания за период, т. е.

или, учитывая, что T = 1/ n, где n — частота колебаний,

волновое число

 

Следовательно, скорость v распространения волны в уравнении есть не что иное, как скорость перемещения фазы волны, и ее называют фазовой скоростью.

Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества.

 

14. Среди разнообразных волн, встречающихся в природе и технике, выделяются следующие их типы: волны на поверхности жидкости, упругие и электромагнитные волны. Упругими (или механическими) волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Упругие волны бывают продольные и попереч­ные. В продольных волнах частицы среды колеблются в направлении распространения волны, в поперечных — в плоскостях, перпендикулярных направлению распростране­ния волны.

Продольные волны могут возбуждаться в средах, в которых возникают упругие силы при деформации сжатия и растяжения, т. е. твердых, жидких и газообразных телах. Поперечные волны могут возбуждаться в среде, в которой возникают упругие силы при деформации сдвига, т. е. в твердых телах; в жидкостях и газах возникают только продольные волны, а в твердых телах — как продольные, так и поперечные.

 

15 \

Уравнение волны, распространяющейся вдоль отрицательного направления оси х, отличается от (154.4) только знаком члена kx.

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положитель­ного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид

 

16 Существование электромагнитных волн — переменного электромагнитного поля, распространяющегося в пространстве с конечной скоростью

Электромагнитные волны, обладая широким диапазоном частот (или длин волн l = c / n, где с — скорость электромагнитных волн в вакууме), отличаются друг от друга по способам их генерации и регистрации, а также по своим свойствам. Поэтому электромагнитные волны делятся на несколько видов: радиоволны, световые волны, рентгеновское и g -излучения Следует отметить, что границы между различ­ными видами электромагнитных волн довольно условны.

 

 

где — оператор Лапласа, v — фазовая скорость.

Если электромагнитные волны поглощаются или отражаются телами (эти явления подтверждены опытами Г. Герца), то из теории Максвелла следует, что электромаг­нитные волны должны оказывать на тела давление. Давление электромагнитных волн объясняется тем, что под действием электрического поля волны заряженные частицы вещества начинают упорядоченно двигаться и подвергаются со стороны магнитного поля волны действию сил Лоренца. Однако значение этого давления ничтожно мало.

Существование давления электромагнитных воли приводит к выводу о том, что электромагнитному полю присущ механический импульс. Импульс электрома­гнитного поля где W — энергия электромагнитного поля. Выражая импульс как р=тс (поле в ваку­уме распространяется со скоростью с), получим р=тс= W/c, откуда

Это соотношение между массой и энергией электромагнитного поля является универ­сальным законом природы Согласно специальной теории относитель­ности, выражение имеет общее значение и справедливо для любых тел независи­мо от их внутреннего строения

Уравнениям удовлетворяют, в частности, плоские монохроматические электромагнитные волны (электромагнитные волны одной строго определенной частоты), описываемые уравнениями

где E ₀ и Н ₀ — соответственно амплитуды напряженностей электрического и магнит­ного полей волны, w — круговая частота волны, k=w/v — волновое число, j — на­чальные фазы колебаний в точках с координатой х= 0. В уравнениях и j одинаково, так как колебания электрического и магнитного векторов в электромаг­нитной волне происходят в одинаковых фазах.

Следовательно, Е и Н одновременно достигают максимума, одновременно обраща­ются в нуль и т. д.

Из уравнений Максвелла следует также, что в электромагнитной волне векторы Е и Н все­гда колеблются в одинаковых фазах причем мгновенные значения Е и Н в любой точке связаны соотношением

Следствием теории Максвелла является поперечность электромагнитных волн: век­торы Е и Н напряженностей электрического и магнитного полей волны взаимно перпендикулярны

 

17 Предположим, что две монохроматические световые волны, накладываясь друг на друга, возбуждают в определенной точке пространства колебания одинакового направ­ления: х ₁ =А ₁ cos(w t + j ₁ ) и x ₂ = A ₂ cos(w t + j ₂). то d = ±2 т p, и колебания, возбуждаемые в точке М обеими волнами, будут проис­ходить в одинаковой фазе. Следовательно, является условием интерференционного максимума. Если оптическая разность хода то d = ±2(т +1)p, и колебания, возбуждаемые в точке М обеими волнами, будут происходить в противофазе. Следовательно, является условием интерференционного минимума.

 

18 В природе часто можно наблюдать радужное окрашивание тонких пленок (масляные пленки на воде, мыльные пузыри, оксидные пленка на металлах), возникающее в ре­зультате интерференции света, отраженного двумя поверхностями пленки.

Интерференция, как известно, наблюдается, только если удвоенная толщина пластинки меньше длины когерентности падающей волны.

 

19 Особым случаем интерференции являются стоячее волны — это волны, образующиеся при наложении двух бегущих воли, распространяющихся навстречу друг другу с оди­наковыми частотами и амплитудами, а в случае поперечных волн и одинаковой поляризацией.

Тогда соответственно уравнения волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х, и волны, распространяющейся ей навстречу, будут иметь вид

Сложив эти уравнения и учитывая, что k=2v/X получим уравнение стоячей волны:

Из уравнения стоячей волны вытекает, что в каждой точке этой волны происходят колебания той же частоты w с амплитудой A _ст =| 2 А cos (2 pх/l)|, зависящей от координаты х рассматриваемой точки.

В точках среды, где амплитуда колебаний достигает максимального значения, равного 2 А. В точках среды, где амплитуда колебаний обращается в нуль. Точки, в которых амплитуда колебаний максимальна (А _ст = 2 А), называются пучностями стоячей волны, а точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю (A _ст=0), называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают.

Из выражений и получим соответственно координаты пучностей и узлов:

 

20. Дифракцией называется огибание волнами препятствий, встречающихся на их пути, или в более широком смысле — любое отклонение распространения волн вблизи препятст­вий от законов геометрической оптики.

Согласно принципу Гюйгенса — Френеля, световая волна, возбуждаемая каким-ли­бо источником S, может быть представлена как результат суперпозиции когерентных вторичных волн, «излучаемых» фиктивными источниками. Такими источниками могут служить бесконечно малые элементы любой замкнутой поверхности, охватывающей источник S. Обычно в качестве этой поверхности выбирают одну из волновых поверх­ностей, поэтому все фиктивные источники действуют синфазно. Таким образом, волны, распространяющиеся от источника, являются результатом интерференции всех коге­рентных вторичных волн. Френель исключил возможность возникновения обратных вторичных волн и предположил, что если между источником и точкой наблюдения находится непрозрачный экран с отверстием, то на поверхности экрана амплитуда вторичных волн равна нулю, а в отверстии — такая же, как при отсутствии экрана.

Найдем в произвольной точке М амплитуду световой волны, распространяющейся в однородной среде из точечного источника S (рис. 257). Согласно принципу Гюйген­са — Френеля, заменим действие источника S действием воображаемых источников, расположенных на вспомогательной поверхности Ф, являющейся поверхностью фронта волны, идущей из S (поверхность сферы с центром S). Френель разбил волновую поверхность Ф на кольцевые зоны такого размера, чтобы расстояния от краев зоны до М отличались на l /2, т. е. Р ₁ М – Р ₀ М = Р ₂ М – Р ₁ М = Р ₃ М – Р ₂ М =... = l /2. Подобное разбиение фронта волны на зоны можно выполнить, проведя с центром в точ­ке М сферы радиусами b + , b + 2 , b + 3 ,.... Так как колебания от соседних зон проходят до точки М расстояния, отличающиеся на l /2, то в точку М они приходят в противоположной фазе и при наложении эти колебания будут взаимно ослаблять друг друга. Поэтому амплитуда результирующего светового колебания в точке М

где А ₁, А ₂ ,... — амплитуды колебаний, возбуждаемых 1-й, 2-й,..., т -й зонами.

 

21 Дифракция на круглом отверстии. Сферическая волна, распространяющаяся из точечного источника S, встречает на своем пути экран с круглым отверстием. Дифрак­ционную картину наблюдаем на экране Э в точке В, лежащей на линии, соединяющей S с центром отверстия Экран параллелен плоскости отверстия и находится от него на расстоянии b. Разобьем открытую часть волновой поверхности Ф на зоны Френеля. Вид дифракционной картины зависит от числа зон Френеля, открываемых отверстием. Амплитуда результирующего колебания, возбуждаемого в точке В всеми зонами где знак плюс соответствует нечетным m и минус — четным т.

Дифракция на диске. Сферическая волна, распространяющаяся от точечного источника S, встречает на своем пути диск. Дифракционную картину наблюдаем на экране Э в точке В, лежащей на линии, соединяющей S с центром диска. В данном случае закрытый диском участок волнового фронта надо исключить из рассмотрения и зоны Френеля строить начиная с краев диска. Пусть диск закрывает m первых зон Френеля. Тогда амплитуда результирующего колебания в точке В равна

Или так как выражения, стоящие в скобках, равны нулю. Следовательно, в точке В всегда наблюдается интерференционный максимум (светлое пятно), соответствующий поло­вине действия первой открытой зоны Френеля. Центральный максимум окружен концентрическими с ним темными и светлыми кольцами, а интенсивность в мак­симумах убывает с расстоянием от центра картины.

Дифракция Фраунгофера, имеющая боль­шое практическое значение, наблюдается в том случае, когда источник света и точка наблюдения бесконечно удалены от препятствия, вызвавшего дифракцию. Чтобы этот тип дифракции осуществить, достаточно точечный источник света поместить в фокусе собирающей линзы, а дифракционную картину исследовать в фокальной плоскости второй собирающей линзы, установленной за препятствием.

22. дифракционную решетку — систему параллельных щелей рав­ной ширины, лежащих в одной плоскости и разделенных равными по ширине непроз­рачными промежутками

Положение главных максимумов зависит от длины волны l Поэтому при пропускании через решетку белого света все максимумы, кроме центрального (т =0), разложатся в спектр, фиолетовая область которого будет обращена к центру дифракционной картины, красная — наружу. Это свойство дифракционной решетки используется для исследования спектрального состава света (определения длин волн и интенсивностей всех монохроматических компонентов), т. е. дифракционная решетка может быть использована как спектральный прибор.

Дифракционные решетки, используемые в различных областях спектра, отличаются размерами, формой, материалом поверхности, профилем штрихов и их частотой (от 6000 до 0,25 штрих/мм, что позволяет перекрывать область спектра от ультрафи­олетовой его части до инфракрасной). Например, ступенчатый профиль решетки позволяет концентрировать основную часть падающей энергии в направлении одного определенного ненулевого порядка.

 

23. Брэгговская дифракция — явление сильного рассеяния волн на периодической решётке рассеивателей при определенных углах падения и длинах волн. Падающая волна последовательно отражается от каждого слоя периодической структуры; все отражённые лучи когерентны и идут в одном направлении, что позволяет им интерферировать. Если все отражённые волны синфазны, то интерференция конструктивна и возникает отражённый луч. Простейший случай Брэгговской дифракции возникает при рассеянии света на дифракционной решётке. Аналогичное явление наблюдается при рассеянии рентгеновского излучения, электронов, нейтронов и т. п. на кристаллической решётке. Интенсивные пики рассеяния наблюдаются тогда, когда выполняется условие Вульфа — Брэгга , где — волновой вектор, — вектор обратной решётки, то есть, при условии, что рассеянная волна совпадает по фазе с падающей. Для дифракционной решетки с периодом d это условие можно переписать в виде: , где θ угол скольжения — дополнительный угол к углу падения, λ — длина волны, n (n = 1,2…) — целое число называемое порядком дифракции. Это соотношение называется условием Вульфа — Брэгга.

 

Свет представляет собой суммарное электромагнитное излучение множества атомов. Атомы же излучают световые волны независимо друг от друга, поэтому световая волна, излучаемая телом в целом, характеризуется всевозможными равнове­роятными колебаниями светового вектора называется естественным. Свет, в котором направления колебаний светового вектора каким-то образом упорядочены, называется поляризованным

Если на пути луча поставить вторую пластинку турмалина T ₂ и вращать ее вокруг направления луча, то интенсивность света, прошедшего через пластинки, меняется в зависимости от угла к между оптическими осями кристаллов по закону Малюса: где I ₀ и I — соответственно интенсивности света, падающего на второй кристалл и вышедшего из него.

Степенью поляризации называется величина где I_max, и I_min — соответственно максимальная и минимальная интенсивности частично поляризованного света, пропускаемого анализатором. Для естественного света I_max = I_min и Р= 0, для плоскополяризованного I_min =0 и Р= 1.

 

25 Двойное лучепреломление имеет место в естественных анизотропных средах Существуют, однако, различные способы получения искусственной оптической анизотропии, т. е. сообщения оптической анизотропии естественно изотропным веществам.

Оптически изотропные вещества становятся оптически анизотропными под дейст­вием: 1) одностороннего сжатия или растяжения (кристаллы кубической системы, стекла и др.); 2) электрического поля (эффект Керра*; жидкости, аморфные тела, газы); 3) магнитного поля (жидкости, стекла, коллоиды). В перечисленных случаях вещество приобретает свойства одноосного кристалла, оптическая ось которого со­впадает с направлением деформации, электрического или магнитного полей соответст­венно указанным выше воздействиям.

Мерой возникающей оптической анизотропии служит разность показателей прело­мления обыкновенного и необыкновенного лучей в направлении, перпендикулярном оптической оси:

где k ₁, k ₂, k ₃ — постоянные, характеризующие вещество, s — нормальное напряжение Е и Н — соответственно напряженность электрического и магнитного полей.

 

26 Все прозрачные кристаллы (кроме кристаллов кубической системы, которые оптически изотропны) обладают способностью двойного лучепреломления, т. е. раздваивания каждого падающего на них светового пучка. Если на толстый кристалл исландского шпата направить узкий пучок света, то из кристалла выйдут два пространственно разделенных луча, параллельных друг другу и падающему лучу Даже в том случае, когда первичный пучок падает на кристалл нормально, преломленный пучок разделяется на два, причем один из них является продолжением первичного, а второй отклоняется Второй из этих лучей получил название необыкновенного (e), а первый — обыкновенного (о).

Если v_e<v_o (n_e>n_o), то эллипсоид необыкновенного луча вписан в сферу обыкновенного луча (эллипсоид скоростей вытянут относительно оптической оси) и одноосный кристалл называется положительным (Если v_e>v_o (n_e<n_o), то эллипсоид описан вокруг сферы (эллипсоид скоростей растянут в направлении, перпендикулярном оп­тической оси) и одноосный кристалл называется отрицательным

 

27 установил закон, согласно которому при угле падения i _B (угол Брюстера), определяемого соотношением (n ₂₁ — показатель преломления второй среды относительно первой), отраженный луч является плоскополяризованным (содержит только колебания, перпендикулярные плос­кости падения). Преломленный же луч при угле падения i _B поляризуется максимально, но не полностью.

Если свет падает на границу раздела под углом Брюстера, то отраженный и прело­мленный лучи взаимно перпендикулярны (tg i _B = sin i _B/cos i _B, n ₂₁ = sin i _B / sin i ₂ (i ₂ — угол преломления), откуда cos i _B=sin i ₂). Следовательно, i _B + i ₂ = p /2, но i’ _B = i _B (закон от­ражения), поэтому i’ _B + i ₂ = p /2.

 

28 Эффектом Доплера называется изменение частоты колебаний, воспринимаемой приемником, при движении источника этих колебаний и приемника друг относительно друга. Например, из опыта известно, что тон гудка поезда повышается по мере его приближения к платформе и понижается при удалении, т. е. движение источника колебаний (гудка) относительно приемника (уха) изменяет частоту принимаемых коле­баний.

1. Источник и приемник покоятся относительно среды, т. е. v _ист = v _пр=0. Если v — скорость распространения звуковой волны в рассматриваемой среда, то длина волны l=vT=v/v ₀. Распространяясь в среде, волна достигнет приемника и вызовет колебания его звукочувствительного элемента с частотой

Следовательно, частота v звука, которую зарегистрирует приемник, равна частоте v ₀, с которой звуковая волна излучается источником.

2. Приемник приближается к источнику, а источник покоится, т. е. v _пр>0, v _ист=0. В данном случае скорость распространения волны относительно приемника станет равной v + v _пр. Так как длина волны при этом не меняется, то

т. е. частота колебаний, воспринимаемых приемником, в (v+v _пр) /v раз больше частоты колебаний источника.

3. Источник приближается к преемнику, а приемник покоится, т. е. v _ист >0, v _пр=0.

Скорость распространения колебаний зависит лишь от свойств среды, поэтому за время, равное периоду колебаний источника, излученная им волна пройдет в направле­нии к приемнику расстояние vT (равное длине волны l) независимо от того, движется ли источник или покоится. За это же время источник пройдет в направлении волны расстояние v _ист T (рис. 224), т. е. длина волны в направлении движения сократится и станет равной l '= l — v _ист Т =(v — v _ист) T, тогда

т. е. частота n колебаний, воспринимаемых приемником, увеличится в v /(v – v _ист) раз. В случаях 2 и 3, если v _ист<0 и v _пр<0, знак будет обратным.

4. Источник и приемник движутся относительно друг друга. Используя результаты, полученные для случаев 2 и 3, можно записать выражение для частоты колебаний, воспринимаемых приемником: причем верхний знак берется, если при движении источника или приемника происходит их сближение, нижний знак — в случае их взаимного удаления.

Эффект Доплера для электромагнитных волн в вакууме:

где v — скорость источника света относительно приемника, с — скорость света в ваку­уме, b=v/c, q — угол между вектором скорости v и направлением наблюдения, из­меряемый в системе отсчета, связанной с наблюдателем

Из выражения следует, что при q = 0

Формула определяет так называемый продольный эффект Доплера, наблюда­емый при движении приемника вдоль линии, соединяющей его с источником. При малых относительных скоростях v (v <<c), разлагая в ряд по степеням b и пpeнeбрегая членом порядка b ², получим

Следовательно, при удалении источника и приемника друг от друга (при их положительной относительной скорости) наблюдается сдвиг в более длинноволновую область (n < n ₀, l > l ₀) — так называемое красное смещение. При сближении же ис­точника и приемника (при их отрицательной относительной скорости) наблюдается сдвиг в более коротковолновую область ((n > n ₀, l < l ₀) — так называемое фиолетовое смещение.

Если q = p /2, то выражение примет вид

Формула определяет так называемый поперечный эффект Доплера, наблю­даемый при движении приемника перпендикулярно линии, соединяющей его с источником.

 

29 Дисперсией света называется зависимость показателя преломления n вещества от частоты n (длины волны l) света или зависимость фазовой скорости v световых волн от его частоты n. Дисперсия света представляется в виде зависимости

Поглощением (абсорбцией) света называется явление уменьшения энергии световой волны при ее распространении в веществе вследствие преобразования энергии волны в другие виды энергии. В результате поглощения интенсивность света при прохождении через вещество уменьшается.

Поглощение света в веществе описывается законом Бугера: где I ₀ и I — интенсивности плоской монохроматической световой волны на входе и выходе слоя поглощающего вещества толщиной х, a — коэффициент поглощения, зависящий от длины волны света, химической природы и состояния вещества и не зависящий от интенсивности света. При х= 1 /a интенсивность света I по сравнению с I ₀ уменьшается в е раз.

Рассмотрим различия в дифракционном и призматическом спектрах.

1. Дифракционная решетка разлагает падающий свет непосредственно по длинам воли поэтому по измеренным углам (по направлениям соответствующих максимумов) можно вычислить длину волны. Разложение света в спектр в призме происходит по значениям показателя преломления, поэтому для определения длины волны света надо знать зависимость n = f (l)

2. Составные цвета в дифракционном и призматическом спектрах располагаются различно. Из следует, что в дифракционной решетке синус угла отклонения пропорционален длине волны. Следовательно, красные лучи, имеющие большую длину волны, чем фиолетовые, отклоняются дифракционной решеткой сильнее. Призма же разлагает лучи в спектр по значениям показателя преломления, который для всех прозрачных веществ с увеличением длины волны уменьшается Поэтому красные лучи отклоняются призмой слабее, чем фиолетовые.

Величина называемая дисперсией вещества

что показатель преломления для прозрач­ных веществ с уменьшением длины волны увеличивается; следовательно, величина dn/dl по модулю также увеличивается с уменьшением l. Такая дисперсия называется нормальной. Как будет показано ниже, ход кривой n (l) — кривой дисперсии — вблизи линий и полос поглощения будет иным: n уменьшается с уменьшением l. Такой ход зависимости n от l называется аномальной дисперсией.