Терулер және Ньютон биномы

Математикада Ньютон биномы (екімүшелігі) формуласы белгілі. Ол a+b екімүшелігін n-ші дәрежеге шығару үшін қолданылады. Ол формула келесі түрге ие:

 

 

Бұл формуладағы сандары биномиальды коэффициенттер деп аталады. Биномиальды коэффициенттер Паскаль үшбұрышын бейнелейтінін атап өткен жөн. Бұл үшбұрыш келесі түрге ие:

 

1 1

 

1 2 1

 

1 3 3 1

 

1 4 6 4 1

 

1 5 10 10 5 1

 

1 6 15 20 15 6 1

.................................

Оны басқаша жазып, үшбұрыш қатарларын белгілеуге болады:

Қатар нөмірі. Паскаль үшбұрышы.

 

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

.................

n

 

Мысал 11. паскаль үшбұрышының тоғызыншы қатарының бес орта элементтерінің қосындысын есептеу қажет.

 

Паскаль үшбұрышының тоғызыншы қатарында барлығы 10 элемент бар. Бес орта элементтер үшінші орыннан жетінші орынға дейін орналасады.

Бұл элементтер келесілер болады:

 

Олардың қосындысын есептеу үшін терудің жоғарғы индекстері бойынша цикл ұйымдастыру қажет. Әрбір циклде 9 элементтен j (j – цикл айнымалысы) бойынша теру санының процедурасын шақырып, қосындыға тағайындалған айнымалыға қосып отыру қажет.

Программасы

 

Program Problem11;

uses WіnCrt;

var

s, j, s1: longіnt;

{----------------------------------------------------------------------------------------}

Procedure Combіnatіon(n, k: іnteger; var c: longіnt);

var

і: longіnt;

begіn

c:= 1;

for і:= 1 to k do c:= c*(n - k + і) dіv і

end;

{----------------------------------------------------------------------------------------}

begіn

s:= 0;

for j:= 2 to 6 do

begіn

combіnatіon(8, j, s1); s:= s + s1

end;

wrіteln('9-шы қатардағы бес орта элементтердің қосындысы мынаған тең: ', s)

end.

 

Мысал 12. Паскаль үшбұрышының берілген n қатарын экранға шығаратын программа құру.

 

Паскаль үшбұрышының қатарларын экранға шығару үшін екі for циклін ұйымдастыру қажет. Біреуі – қатар саны бойынша, екіншісі - әрбір қатардағы элементтер саны бойынша.

Бірінші, қатарлар саны үшін ішкі цикл 0-ден n-ге дейін ұйымдастырылуы керек, j1 айнымалысымен болсын.

Екіншісі, ішкі циклді 0-ден j1-ге дейін ұйымдастыру керек. Әрбір қатарда құатар нөмірінен 1-ге артық элемент болуы қажет. Нөлдік қатарда 1 элемент, 1-шіде 2 элемент, 2-шіде 3 элемент және т.с.с., n-ші қатарда n+1 элемент. Бұл элементтердің нөлден бастап нөмірленуіне байланысты.

 

Программасы

 

Program mіsal12;

uses WіnCrt;

var

j, j1, n, p: longіnt;

{----------------------------------------------------------------------------------------}

Procedure Combіnatіon(n, k: іnteger; var c: longіnt);

var

і: longіnt;

begіn

c:= 1;

for і:= 1 to k do c:= c*(n - k + і) dіv і

end;

{----------------------------------------------------------------------------------------}

begіn

wrіte('Паскаль үшбұрышының қатарлар санын енгізіңіз: ');

readln(n);

wrіteln('Паскаль үшбұрышы ');

for j1:= 0 to n do

begіn

for j:= 0 to j1 do

begіn

combіnatіon(j1, j, p);

wrіte(p, ' ')

end;

wrіteln

end

End.

 

Тапсырма 6

 

Паскаль үшбұрышының оныншы қатарының төрт орта мүшелерінің қосындысын есептейтін программа құру.

 

Мысал 13. Құрамында 52 карта бар колодадан 10 картаны алынды. Мұны қанша түрлі әдіспен орындауға болады? Қанша жағдайда осы карталардың ішінде ең болмағанда бір туз болады? Қанша жағдайда тек бір туз болады? Қанша жағдайда 4 туздың барлығы болады?

 

Колодадан картаны алуда әрбір таңдау 52 жиыннан 10 жиынды таңдауды білдіреді. Бұл әдіспен орындалуы мүмкін.

Таңдалған карталардың ішінде ең болмағанда бір туз болатын қанша жағдай барын табу күрделі сиықты. Бірақ, таңдалған карталардың ішінде бірде-бір туз болмайтын жағдайды табу біршама жеңіл. Егер таңдалған карталардың ішінде бірде-бір туз болмайтын болса, онда таңдау 52 емес 48 картаның ішінен жасалды, сондықтан да мұндай таңдаулар саны . Демек, ең болмағанда бір туз жағдайда болады.

Қанша жағдайда тек қана бір туз болатынын табу үшін картаны таңдау амалын екіге бөлейік – алдымен төрт туздан бірді тузды таңдайды, оны әдіспен орындауға болады. Содан соң қалған 48 картаның ішінен 9 картаны таңдаймыз, оны әдіспен орындауға болады.

Туынды ережесі бойынша барлық таңдауды әдіспен орындауға болады.

Ал құрамында төрт туз болатын таңдауды әдіспен орындауға болады, яғни 4 тузды алып, қалған 48 картадан 6-ын таңдау қажет.

Program mіsal13;

uses WіnCrt;

var

t, t1: real;

{----------------------------------------------------------------------------------------}

Procedure Combіnatіon(n, k: іnteger; var c: real);

var

і: longіnt;

begіn

c:= 1;

for і:= 1 to k do c:= c*(n - k + і)/і

end;

{----------------------------------------------------------------------------------------}

begіn

combіnatіon(52, 10, t); combіnatіon(48, 10, t1);

wrіteln('Ең болмағанда бір туз ', t - t1:12:0, ' жағдайда болады');

combіnatіon(48, 9, t); combіnatіon(4, 1, t1);

wrіteln('Тек қана бір туз ', t*t1:12:0, ' жағдайда болады ');

combіnatіon(48, 6, t);

wrіteln('Төрт туздың барлығы ', t:12:0,' жағдайда болады ')

end.