V) Свойства бинома Ньютона

ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ

ЧОУ «Санкт-Петербургская Школа «Тет-а-Тет»

Заслуженный Учитель Математики

 

«Бином Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов»

Цели:

- обучающие: познакомить с формулой бинома Ньютона, научить применять формулу бинома Ньютона при возведении в степень двучлена;
- развивающие: способствовать развитию памяти, алгоритмического и логического мышления, внимания;
- воспитательные: продолжить воспитание чувства ответственности, самостоятельности, добросовестности.)

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация, карточки с теоретическим материалом.

Тип урока – к омбинированный;

Формы работы учащихся – фронтальная, индивидуальная.

Ход урока:

1.Организационный момент:

Сообщение темы, целей урока, практической значимости рассматриваемой темы.

Актуализация знаний

I. Фронтальный опрос:

1)Что изучает комбинаторика?

2)Какие виды соединений или выборок вам известны?

3) Отгадать кроссворд «Комбинаторика»

II. Устный счет:

1. 5!=….(120), А₅² =…(20)., С₄²=….(8)

2. Сколькими способами можно разместить 5 человек на скамейке?

3. Изложение нового материала: Работа с карточками теоретического материала. Заслушивание и анализ сообщений студентов. Написание конспекта.

I) История комбинаторики

На прошлом уроке мы познакомились с основами комбинаторики. Домашнее задание для первой творческой группы было подготовить сообщение об истории возникновения комбинаторики как науки.

· Какие же ученые внесли вклад в развитие комбинаторики как науки?

· Одним из выдающихся умов того времени был английский ученый Исаак Ньютон. Ваше домашнее задание было подготовить сообщение об этом великом гении.

II) Исаак Ньютон- великий математик

Вы услышали из доклада, сколько гениальных идей и открытий принадлежит великому математику Исааку Ньютону. Одним из его открытий является формула Бином Ньютона.

III) Бином Ньютона.

Именно этому открытию мы посвятим наш сегодняшний урок. Запишем тему урока. Цели нашего урока: познакомиться с формулой бинома Ньютона, научиться применять формулу бинома Ньютона при возведении в степень двучлена.

Слово бином означает «Два числа» В математике биномом называют «формулу для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных». Давайте вслед за Ньютоном попробуем ее вывести, чтобы затем применять.

 

Вы наверняка помните (или, по крайней мере, должны помнить), формулы сокращенного умножения для квадрата и куба суммы двух слагаемых (такая сумма называется «бином», по-русски – двучлен.

Если вы забыли эти формулы, можно их получить напрямую, раскрыв скобки в очевидных равенствах

Может быть, вам приходил в голову вопрос: можно ли (без компьютера) получить формулы типа для биномов четвертой степени, пятой, десятой – какой угодно?

Давайте попробуем дойти напрямую хотя бы до пятой степени, а там, может быть, окажется «рояль в кустах» (для порядка будем размещать слагаемые в правой части по убыванию степени а, она убывает от максимума до нуля):

Теперь отдельно выпишем численные коэффициенты в правых частях формул при возведении бинома в заданную степень:

Возможно, вы уже догадались, что «рояль в кустах» – это треугольник Паскаля на предыдущей странице. Легко проверить, что выписанные на численные коэффициенты – это строчки треугольника Паскаля, начиная с третьей. Этот «усеченный треугольник», в котором не хватает первых двух строк, легко сделать полным (получить строчки при n=0 и n=1):

Окончательно получим:

Это утверждение было известно задолго до Паскаля - его знал живший в XI-XII вв. среднеазиатский математик и поэт Омар Хайям (к сожалению, его сочинение об этом до нас не дошло). Первое, дошедшее до нас описание формулы бинома Ньютона содержится в появившейся в 1265 г. книге среднеазиатского математика ат-Туси, где дана таблица чисел (биномиальных коэффициентов) до включительно.

Европейские ученые познакомились с формулой бинома Ньютона, по-видимому, через восточных математиков. Детальное изучение свойствбиномиальных коэффициентов провел французский математик и философ Б. Паскаль в 1654 г. Ваше домашнее задание было подготовить сообщение о французском ученом Паскале.

IV) Блез Паскаль

Теперь понятно, как возвести бином в любую степень n. В левой части записываем (а+b)ⁿ. А в правой части записываем сумму аⁿ + а^n-1b + … + bⁿ, оставляя в каждом слагаемом место для коэффициента. И эти места заполняем числами из n –ой строчки треугольника Паскаля, которую, конечно, нужно заранее выписать.

Возведение двучлена a + b в степень n может быть произведено по формуле называемой разложением бинома Ньютона:

(a + b)ⁿ = aⁿ + C¹_n a^{n - 1} b + C²_n a^{n - 2} b² +...+C^k_n a^{n - k} b^k +... + C^{n - 1}_n ab^{n - 1} + Cⁿ_nbⁿ

где C^k_n — все возможные сочетания, которые можно образовать из n элементов по k.

Пример:
(a + b)⁵ = a⁵ + C¹₅ a⁴b + C²₅ a³b² + C³₅ a²b³ + C⁴₅ ab⁴ + C⁵₅ b⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

Таким образом можно записать формулу для возведения двучлена в любую степень. Давайте заметим некоторые свойства у слагаемых в разложении двучлена по формуле Бинома Ньютона.

V) Свойства бинома Ньютона

· Число слагаемых на 1 больше степени бинома.

· Коэффициенты находятся по треугольнику Паскаля или равны числу сочетаний С , где n – степень двучлена, m – переменная величина, пробегающая значения от 0 до n и соответствующая степени второго выражения.

· Коэффициенты симметричны.

· Если в скобке знак минус, то знаки + и – чередуются.

· Сумма степеней каждого слагаемого равна степени бинома.

· Сумма коэффициентов разложения (a + b) ⁿ равна 2 ⁿ.