Детерминированные модели. Моделирование двумерного движения объекта

Детерминированные модели систем имеют ту особенность, что могут исследоваться аналитически, если они являются достаточно простыми. В противоположном случае при использовании значительного числа уравнений и переменных для этой цели могут задействоваться электронно-вычислительные машины. Причем помощь ЭВМ, как правило, сводится исключительно к их решению и нахождению ответов. Из-за этого приходится менять системы уравнений и использовать другую дискретизацию. А это влёчет за собой повышенную опасность погрешности при расчетах. Все типы детерминированных моделей характеризуются тем, что знание параметров на определённом исследуемом интервале позволяет нам полностью определить динамику развития за границей известных показателей.

Особенности: Детерминированные математические модели не позволяют одновременно определять влияние множества факторов, а также не учитывают их взаимозаменяемость в системе обратных связей. На чем же выстраивается их функционал? Он базируется на математических закономерностях, которые описывают физико-химические процессы объекта. Благодаря этому достаточно точно предсказывается поведение системы.

Для строительства также используются обобщенные уравнения теплового и материального балансов, определяемых макрокинетикой процесса. Для большей точности прогнозирования детерминированная модель должна обладать максимально возможным количеством исходной информации про прошлое рассматриваемого объекта. Она может быть применена относительно тех технических задач, где допускается по той или иной причине пренебречь реально существующими флуктуациями значений параметров и результатами их измерения. Также одним из показаний к использованию является то, что случайные ошибки могут оказать несущественное влияние на конечный расчет системы уравнений.

Виды: Они могут быть не/периодическими. Оба вида могут быть непрерывным во времени. Также они представляются в виде последовательности дискретных импульсов. Описываться они могут с помощью изображения по Лапласу или благодаря интегралу Фурье. Детерминированные факторные модели имеют определённые связи между входными и выходными параметрами процесса. Задаются модели посредством логических, дифференциальных и алгебраических уравнений (хотя могут использоваться и их решения, представленные как функция времени). Также в качестве основы для расчетов могут выступать экспериментальные данные, которые были получены в натуральных условиях или при ускоренных коррозионных испытаниях. Любая детерминированная модель предусматривает определённое усреднение характеристик системы.

Моделирование двумерного движения объекта (МОДЕЛЬ ДВУМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ)

1. Задача. Материальная точка массой движется в силовом поле , при этом на нее действует сила вязкого трения направленная противоположно скорости. Необходимо, зная начальные условия , построить траекторию движения точки.

2. Теория. Примерами подобного движения являются движение точки, в однородном силовом поле, в центральном силовом поле сил притяжения или отталкивания, в центральном поле сил упругости и т.д. При этом могут быть учтены силы вязкого трения.

Проанализируем основные ситуации.

1. Движение в однородном поле. Во всех точках пространства вектор силы имеет постоянные проекции на оси координат. При отсутствии силы трения точка движется по параболе, а при ее наличии -- по более сложной кривой.

2. Движение в центрально-симметричном поле, действующем по закону обратных квадратов. На точку с координатами действует сила

Ее проекции на оси координат:

В поле притяжения в зависимости от начальных координат и скоростей точка движется по гиперболе, параболе или эллипсу. В поле отталкивания траекторией движения точки является гипербола.

3. Движение в магнитном поле. Движение заряженной частицы в магнитном поле будет двумерным, если начальная скорость частицы перпендикулярна силовым линиям магнитного поля. При этом со стороны поля действует сила Лоренца , лежащая в плоскости экрана и направленная перпендикулярно вектору скорости. Введем угол , который образует вектор с осью . Проекции силы Лоренца на координатные оси:

Заряженная частица описывает окружность. При наличии тормозящей силы радиус окружности уменьшается.

3. Алгоритм. Пусть в момент времени материальная точка имеет координаты и проекции скорости Запишем второй закон Ньютона:

Отсюда следует, что проекции ускорения точки в момент времени равны:

 

Определив координаты и проекции скорости точки в момент времени , можно повторить процедуру вычисления требуемое количество раз и построить траекторию движения точки.

Построим алгоритм модели.

1. Задают массу материальной точки , коэффициент вязкости , начальные координаты и проекции скорости силовое поле , а также шаг по времени

2. Начало цикла по Дают приращение по времени: переменной присваивают значение

3. Определяют ускорение, скорость и координату тела в следующий момент времени:

4. Результаты вычислений выводят на экран в числовом виде либо строят соответствующие точки на координатной плоскости.

5. Возвращение к операции 2. Если цикл по закончился, -- выход из цикла.

4. Компьютерная программа. Предлагаемая компьютерная программа позволяет изучить движение материальной точки в различных силовых полях с учетом действующей на точку силы трения.

program PROGRAMMA3;

uses crt, graph;

var v, B, q, F, Fx, Fy: real;

r, x, y, vx,vy,ax,ay: real; Gd, Gm, i: integer;

const M=500; mm=100; dt=0.005; rr=0.1; k=2;

Begin

Gd:= Detect; InitGraph(Gd, Gm, 'c:\bp\bgi');

if GraphResult <> grOk then Halt(1);

line(320,240,640,240); line(320,240,320,0); circle(320,240,5);

x:=100; y:=120; vx:=1; vy:=-2;

Repeat

begin

{--Заданние силового поля--}

(* Fy:=3; Fx:=0; *)

(* Fx:=-k*x; Fy:=-k*y; *)

(* r:=sqrt(x*x+y*y); F:=M*mm/(r*r);

Fx:=-F*x/r; Fy:=-F*y/r; *)

B:=2; q:=1; F:=B*v*q; v:=sqrt(vx*vx+vy*vy);

Fx:=F*vy/v; Fy:=-F*vx/v;

(* B:=2; q:=1; F:=B*v*q; v:=sqrt(vx*vx+vy*vy);

Fx:=F*vy/v; Fy:=-0.5-F*vx/v; *)

{--Расчет скоростей и ускорений--}

ax:=(Fx-rr*vx)/mm; ay:=(Fy-rr*vy)/mm;

vx:=vx+ax*dt; vy:=vy+ay*dt; x:=x+vx*dt; y:=y+vy*dt;

circle(round(x)+320,240-round(y),2); setcolor(12);

circle(round(x)+320,240-round(y),1); setcolor(15);

end;

until KeyPressed;

CloseGraph;

END.