ЛЕКЦИЯ № 1.
ГЛАВА 1. ИНТЕГРАЛЫ.
Определения и основные методы.
Определение. Если 
, то 
называется первообразной от функции 
.
Свойство. Если первообразная, то 
(для любого 
) тоже является первообразной для той же самой функции .
Это легко доказать, действительно, 
= 
= .
Таким образом, первообразных бесконечно много, то есть, если поднять или опустить на любую высоту график , снова будет первообразная.
Определение. Множество всех первообразных от одной и той же функции называется неопределённым интегралом этой функции.
Обозначение: 
.
Свойство. Если 
и 
две различные первообразные функции , то 
.
Доказывается так: 
, то есть 
.
Свойства линейности.
1. 
2. 
Таблица основных интегралов.
(
)
; 
Объяснение причины возникновения модуля в 
. Функция 
существует только на правой полуоси, тогда как 
имеет две ветви, на правой и левой полуоси. Получалось бы противоречие, что производная от несуществующей функции есть на левой полуоси. Функция 
является чётным продолжением на левую полуось, и именно она там является первообразной для при 
.
Методы интегрирования.
Преобразования подынтегральных выражений.
Различные преобразования, например, арифметические (домножить и поделить, прибавить и отнять), выделение полного квадрата, разбиение многочлена на множители, преобразования по тригонометрическим формулам, и т.д. нередко помогают упростить исходное выражение, разбить его на несколько более простых слагаемых, которые уже сводятся к интегралам табличного типа. На практике рассмотрены разнообразные примеры на виды этих преобразований. Рассмотрим один пример.
Пример. Вычислить 
.
Решение. Применим формулу понижения степени.
= 
= 
=
= 
.
Замена переменной.
Бывают такие случаи, когда функция имеет вид 
, то есть явно видно, что всё выражение зависит от какого-то однотипного блока, например всё выражается через 
или 
. Делается замена на 
, только нужно не забыть пересчитать 
, потому что 
, если только замена не является простым линейным сдвигом 
.
Пример. Вычислить 
.
Решение. Сделаем замену 
, тогда 
, 
, 
.
= 
= 
= 
.
Обратная замена: = 
= 
.
Более того, область определения исходной функции 
из-за наличия в ней квадратного корня, точка 0 не входит в область определения, так как корень там и в знаменателе, так что знак модуля в ответе является излишним, ответ можно записать так: 
.
Если в функции присутствуют корни разного порядка, например и 
, то замена должна происходить через корень порядка НОК (наименьшее общее кратное). Причина в том, что именно при этом все корни переводятся в целые степени от .
Если 
, тогда: 
, 
.
Почему все корни выразятся через целые степени от , видно здесь:
= 
,
= 
.
Подведение под знак дифференциала.
Если интеграл имеет вид 
, то есть в функции присутствует какой-то множитель, который достаточно легко подлежит интегрированию, а в остальном множителе есть явная зависимость от его первообразной, то это значит, что подынтегральная функция есть производная от композиции . Тогда можно 
объединить и назвать 
, и далее 
можно будет повсеместно заменить на . Рассмотрим, как это действует, на примерах.
Пример. Вычислить 
.
Решение. = 
, фактически здесь уже подготовлена замена 
, более того, дифференциал пересчитывать не нужно, потому что под дифференциалом и так сформировано то же самое, что будет называться . То есть, это частный случай замены переменных, только более простой.
Итак, вид интеграла получается 
= 
.
Сделаем обратную замену, и вот ответ: 
.
Проверка: 
= 
= 
, то есть именно исходную подынтегральную функцию мы и получили.
Интегрирование по частям.
Существует более общий метод, чем подведение под знак дифференциала. Иногда вовсе не требуется, чтобы первообразная от того множителя, который подводится под dx, была как-то связана с остальной частью функции. Запишите формулу:
Такой короткий вид легче выучить наизусть, а теперь запишем более подробно, чтобы понять смысл.
.
Если есть два множителя, и один из них интегрируется довольно легко (он обозначен 
) то можно перейти к интегралу, в котором наоборот, 
понижено до производной, а повышено до первообразной. Иногда именно это помогает упростить дальнейшие вычисления.
Доказательство формулы.
Вспомним, что по правилу дифференцирования произведения, которое мы доказывали в прошлом семестре: 
= 
.
Тогда 
= 
.
Тогда и неопределённые интегралы от этих двух функций совпадают:
= 
.
Но первообразная от производной, это сама функция и есть, т.е.
.
Поэтому
= 
.
Пример. 
Решение. Если обозначить 
, 
, то при переходе к 
степенной понизится степень, в данном случае она вообще перейдёт в 1. А вот для второго множителя переходим к первообразной, но там не усложняется, остаётся точно так же как и было, 
. Поэтому на следующем шаге интеграл содержит вообще не два множителя, а один!
Составим таблицу:
|
| 
|
|
|
= 
, тогда получаем ответ: 
.
Пример. Вычислить интеграл: 
Составим таблицу:
|
| 
|
|
| 
|
После применения формулы, останется интеграл, в котором всего лишь один множитель, а не два, потому что 
переходит в 1, и один из множителей исчезает.
= 
= 
.
А есть такие случаи, когда функция состоит не из 2 множителей, а всего из одного, но мы ведь всё равно можем считать, что второй множитель есть, только он равен 1.
Пример. 
.
| 
|
| 
|
Здесь производная от подынтегральной функции устроена лучше и проще, чем сама функция, но правда, пришлось допустить некоторое незначительное усложнение типа функции при переходе от к 
.
= 
= 
= 
.
