Незалежні події. Незалежність в сукупності.

Теорія ймовірностей 2.

Класичне означення ймовірності:

 

Якщо дане випробування може мати N різних наслідків, і всі вони рівноможливі, а подія А настає в k з цих наслідків, то ймовірність А дорівнює .

 

Зауваження. Іноді такі наслідки називають ще випадками.

Зауваження. Наслідки, в яких настає подія А, називають сприятливими для неї.

Властивості ймовірності:

1. Ймовірність події виражається числом від нуля до одиниці:

2. Ймовірність неможливої події дорівнює нулю ().

3. Ймовірність вірогідної події дорівнює 1 ().

4. (Теорема додавання) для несумісних подій А та В.

Наслідок.

5. (теорема додавання для сумісних подій): .

Зауваження. Властивість 5 є узагальненням властивості 4.

 

Для трьох подій:

Приклади

Обчислення ймовірностей класичним

способом:

Геометрична ймовірність.

Якщо стохастичний експеримент даної задачі можна розглядати, або інтерпретувати як вибір однієї точки навгад з певної геометричної фігури (відрізка, кривої, плоскої або об’ємної фігури), а події А відповідає підмножина А фігури , то геометричною ймовірністю А називають відношення де - довжина, або площа, або об’єм відповідно для ліній, плоских фігур або об’ємних фігур.

 

Приклад.

 

Зауваження. Геометрична ймовірність» яку частину від становить А.

Зауваження. Всі точки розглядаються як рівноправні, рівноможливі.

 

Задача про зустріч: Двоє домовились зустрітись від 12 до 13 години в певному місці. Кожен приходить в випадковий момент часу, чекає 20 хвилин і йде геть. Яка ймовірність того, що зустріч відбудеться?

Задача Бюффона. На площині проведено паралельні прямі на відстані 2а одна від одної. Випадковим чином кидають на площину голку 2l (l < a). Яка ймовірність того, що голка перетне одну з прямих?

 

 

Умовні ймовірності. Теорема множення.

Умовною ймовірністю події А за умови, що настала подія В, називається відношення ймовірності їх перетину до ймовірності події В.

Зауваження. Це можна розглядати як ймовірність появи події А за умови, що подія В обов’язково відбувається.

 

Формула множення для двох подій:

.

Ймовірність перетину двох подій дорівнює добутку ймовірності першої події на ймовірність другої події за умови, що відбулася перша.

Формула множення для кількох подій:

 

Незалежні події. Незалежність в сукупності.

 

 

Кажуть, що подія А незалежна від події В, якщо її безумовна ймовірність дорівнює умовній за умови В.

 

 

Події А і В називаються незалежними, якщо ймовірність їх добутку дорівнює добутку їх ймовірностей.

 

 

Події називаються незалежними в сукупності, якщо ймовірність перетину будь-яких кількох з них дорівнює добутку відповідних ймовірностей.

 

 

Ймовірність настання хоч однієї з незалежних в сукупності подій:

. - незалежні в сукупності,

Теорема. Якщо А і В – незалежні, то А і незалежні, і В незалежні, і незалежні.

 

Вправа. А і незалежні, А і незалежні: перевірити.