Обернені тригонометричні функції

1. Властивості та графік функції

2. Властивості та графік функції

3. Властивості та графік функції

4. Властивості та графік функції

у = arcsin х.

Як ви знаєте, функція у = sin х зростає на проміжку і приймає всі значення від -1 до 1, тобто кожне своє значення функція приймає в єдиній точці області визначення. Отже, рівняння sin х = а, │а│ 1 на проміжку має єдиний корінь, який називається арксинусом числа а і позначається arcsin a.

Арксинусом числа а називається таке число із проміжку синус якого дорівнює а.

Приклад 1. Знайдемо arcsin .

arcsin = , бо sin = і .

Приклад 2. Знайдемо arcsin

arcsin = , бо sin = і . Оскільки кожному значенню х [-1; 1] можна поставити у відповідність єдине значення arcsin x, то можна говорити, що існує функція у = arcsin х.

Графік функції у = arcsin х одержимо із графіка функції у = sin х, х

перетворенням симетрії відносно прямої у = х (рис. 10).

Розглянемо влас­тивості функції у = arcsin х.

1. D(y) = [-1; І].

2. Е(у) = .

3. Графік симетричний відносно початку координат (функція непарна) arcsin (-х) = -arcsin х.

4. Функція зростаюча. Якщо х₁ > х₂ то arcsin х₁ > arcsin х₂

5. у = 0, якщо х = 0.

6. у_mах = y(1) = , y_mіn = y(-1) = - .

у = arccos x.

Функція у = cos x спадає на відрізку [0; π] і приймає всі значення від -1 до 1, тому рівняння cos x = а, |а| < 1 на проміжку [0; π] має єдиний корінь, який називається арккосинусом числа а і позначається arccos a.

Арккосинусом числа а називається таке число з проміжку[0; π], косинус якого дорівнює а.

Приклад 1. Знайдіть arccos .

arccos = , бо cos = i [0;π].

Приклад 2. Знайдіть arccos .

arccos = , бо cos = - і [0;π].

Аналогічно можна говорити про функцію у = arccos x. Графік функції у = arccos x одержимо із графіка функції у = cos x, x [0; π] пере­творенням симетрії відносно прямої у = х (рис. 11).

 

Розглянемо властивості функції у = arccos х.

1. D(y) = [-1; 1].

2. Е(y)=[0;π].

3. Графік не симетричний ні віднос­но початку координат, ні віднос­но осі OY. arccos (-х) = π - arccos х.

 

4. Функція спадна. Якщо х₁ > х₂ то arccos х₁ < arccos х₂.

5. у = 0, якщо х = 1.

6. у_mах = y(-1) =π, y_mіn = y(1) = 0.

у = arctg х.

Функція у = tg х на проміжку зростає і приймає всі значення із R, тому для будь-якого а рівняння tg х = а має єдиний корінь із проміжку , який називається арктангенсом числа а і позначається arctg а.

Арктангенсом числа а називається таке число з проміжку , тангенс якого дорівнює а.

Приклад 1. arctg = , бо tg = і, .

Приклад 2. arctg(-1) = - ,бо tg = -1 і - .

Графік функції у = arctg х: одер­жимо із графіка функції у = tg х, х перетворенням симетрії

відносно прямої у = х (рис. 12).

 

Розглянемо властивості функції у = arctg х:

1. D(y)=R.

2. Е(у) = .

3. Графік симетричний відносно по­чатку координат, функція непарна: arctg (-х) = - arctg х.

4. Функція зростаюча. Якщо х₁< х₂ то arctg х₁ < arctg х₂

5. у = 0, якщо х = 0.

6. у > 0, якщо х > 0; у < 0, якщо х < 0.

у = arcctg х.

Функція у = ctg х на інтервалі (0; π) спадає і приймає всі значення із R, тому для будь-якого числа а в інтервалі (0; π) існує єдиний корінь рівняння ctg х = а. Це число називають арккотангенсом числа а і позначають arcctg a.

Арккотангенсом числа а називається таке число із інтервалу (0; π), котангенс якого дорівнює а.

Приклад 1. arcctg = , бо ctg = і (0; π).

Приклад 2. arcctg = , бо ctg = - і (0; π).

Графік функції у = arcctg x можна одержати із графіка функ­ції у = ctg x у результаті перетворення симетрії відносно пря­мої у = х (рис. 13).

Укажемо властивості функції у = arcctg х:

1. D(y)=R.

2. E(y) = (0; π).

3. Графік не симетричний ні відносно початку координат, ні відносно осі OY. arcctg (-х) = π - arcctg х.

 

4. Функція спадна. Якщо х₁< х₂ то arcctg х₁ > arcctg х₂.

5. х = 0, якщо у = .

6. у > О для всіх х R.

Значення обернених тригонометричних функцій можна об­числювати за допомогою таблиць або мікрокалькулятора