Растяжение-сжатие стержней

Для заданной схемы (рис.2) требуется:

1. Построить эпюру осевых нагрузок.

2. Определить размер квадратного сечения стержня исходя из условий прочности.

Данные для расчёта взять их таблицы 1.

Рис. 2. Варианты расчётных схем стержней

 

Таблица 1

Исходные данные для расчёта

Вариант	Сила, кН	Допускаемое нормальное напряжение [σ], МПа
Р1	Р2	Р3

 

Пример выполнения задания.

 

Для заданной схемы (рис.3) требуется:

Построить эпюру осевых нагрузок.

Определить размер квадратного сечения стержня исходя из условий прочности

Основные данные следующие.

Силы: Р₁ = 6 кН, Р₂ = 8 кН, Р₃ = 10 кН

Допускаемое нормальное напряжение [σ] = 200 МПа.

На рис. 3 обозначено: F₁, F₂ – площадь поперечного сечения ступеней бруса.

Решение.

Рис. 3. Расчётная схема и эпюра внутренних продольных усилий бруса

 

Расставим характерные точки (сечения) – те, в которых приложены нагрузки или изменяется характер поперечного сечения (форма, размер).

В данном случае таких характерных точек 5: А, В, С, D, Е. В точках А, В,D и Е приложены нагрузки: соответственно сосредоточенные силы Р₁, Р₂, Р₃ и реакция заделки, вообще говоря, подлежащая определению из условия равновесия бруса.

В данном случае, когда брус имеет опору в виде жёсткого защемления с одной стороны и является статически определимой конструкцией, продольную реакцию связи (заделки) можно не определять, если при этом начинать решение задачи с конца, наиболее удалённого от заделки и продвигаться в решении в направлении опоры.

В точке С сечение бруса согласно схеме меняет площадь поперечного сечения.

Таким образом, необходимо рассмотреть 4 характерных участка бруса, начиная с правого конца его, т.е. с точки А.

Рассмотрим характерный участок АВ.

Мысленно проведём поперечное сечение бруса I-I между точками А и В, отбросим левую часть бруса, оставив в рассмотрении правую, действие отброшенной части заменив реакцией.

Направив реакцию N в сторону от сечения, т.е. считая внутреннее усилие растягивающим, получим следующую картину приложенных к ней сил (рис. 4)

Рис. 4. Баланс сил, действующих в сечении I-I стержня

 

Из условия равновесия (равенство проекций сил на ось х, получим:

N = - P₁ = - 6 кН_,

т.е. внутренняя продольная сила в сечении I-I является не растягивающей, а сжимающей.

Для определения знака внутренней силы при растяжении (сжатии) стержня можно пользоваться правилом: если приложенная к брусу внешняя продольная нагрузка направлена в сторону его сжатия, то внутренняя сила также будет сжимающей и иметь знак «-».

Не сложно установить, что значение внутренней силы N неизменно на всём участке АВ.

Выбирая масштаб, строим соответствующий участок эпюры продольных сил (в размерности кН), сила N на участке АВ постоянна.

Далее рассмотрим участок ВС.

Проведем сечение II-II в произвольном месте между точками В и С. Отбросим левую часть, её действие заменим реакцией, направим реакцию в сторону от сечения, считая её растягивающей силой.

Получим баланс сил, показанный на рис. 5.

Из условия равновесия имеем:

N = - P₁+ P₂ = - 6 + 8 = 2 кН_,

т.е. внутренняя продольная сила в сечении II-II является растягивающей.

Рис. 5. Баланс сил, действующих в сечении II-II стержня

 

Строим соответствующий участок эпюры продольных сил, сила N на участке ВС постоянна.

Аналогично рассматриваем остальные участки стержня, проводя сечения III-III и IV – IV соответственно и вновь отбрасывая левую часть бруса.

Участок CD:

N = - P₁+ P₂ = - 6 + 8 = 2 кН

Участок DЕ:

N = - P₁+ P₂ + P₃ = - 6 + 8 +10 =12 кН

Строим соответствующие участки эпюры продольных сил.

 

Условие прочности при растяжении (сжатии) стержня имеет вид:

, (1)

где σ_max – наибольшее по модулю нормальное напряжение на соответствующей ступени стержня, N – продольное усилие в сечении стержня, А – площадь поперечного сечения соответствующей ступени бруса, [σ] – допускаемое нормальное напряжение, зависящее от материала стержня.

Поскольку поперечные сечения бруса квадратные, то сторона квадрата a определится как: .

Данная задача является проектировочной, т.е. необходимо, зная допускаемое напряжение и усилия в сечениях стержня, определить размеры его поперечных сечений. Поскольку поперечные сечения бруса квадратные, то сторона квадрата a определится как: .

В данном случае брус имеет две ступени, соответственно необходимо рассмотреть условия равновесия (1) для каждой из ступеней.

Для ступени 1:

,

где N_II – продольная внутренняя сила в сечении II (наибольшая по модулю для участка АС), F₁ –площадь поперечного сечения ступени 1

Тогда размер сечения для ступени 1 определится из выражения:

(2)

Для ступени 2:

,

где N_IV – продольная внутренняя сила в сечении IV (наибольшая по модулю для участка СE), F₂ –площадь поперечного сечения ступени 2

Тогда размер сечения для ступени 2 определится из выражения:

(3)

Подставляя числовые данные в выражения (2) и (3), определим размеры поперечных сечений стержня, при которых прочность бруса будет обеспеченной.

(м) или 6 мм (м) или 8 мм

Ответ: а₁ = 6 мм, а₂ = 8 мм

Задача 2.

Расчёт валов на кручение

 

Для заданной схемы вала (рис.6) требуется:

1. Построить эпюру крутящих моментов.

Определить диаметры круглых сечений вала исходя из условий прочности и жёсткости.

Модуль упругости второго рода принять равным G = 8·10⁴ МПа

Данные для расчета взять из таблицы 2.

При определении диаметра сплошного вала сечения полученные значения округляют по ГОСТ 6636–69 до ближайшего значения из ряда Rа 40: 10; 10,5; 11; 11,5; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 24; 25; 26; 28; 30; 32; 34; 36; 38; 40; 42; 45; 48; 50; 52; 55; 60; 63; 65; 70; 75; 80; 85; 90; 95; 100; 105; 110; 120; 125; 130; 140; 150;160 мм.

Рис. 6. Варианты расчётных схем валов

 

Пример расчёта вала на кручение.

К стальному валу приложены три известных момента:

Т ₁, Т ₂ и Т ₃ (рис. 3.2).

Требуется: 1) из условия равновесия вала найти значение момента Х (сопротивлением опор пренебречь); 2) построить эпюру крутящих моментов; 3) определить диаметр вала из расчета на прочность и жёсткость

Д а н о: Т 1 = 3 кН·м; Т 2 = 2 кН·м; Т 3 = 1 кН·м; [τ] = 70 МПа;

[θ] = 0,02 рад/м

Таблица 2.

Исходные данные для расчёта вала

Вариант	Крутящий момент, кН·м	Допускаемое касательное напряжение [t], МПа	Допускаемый относительный угол закручивания [θ], рад
Т1	Т2	Т3
					0,003
					0,004
					0,004
					0,004
					0,003
					0,003
					0,004
					0,004
					0,004
					0,005

 

Р е ш е н и е.

 

Из условия равновесия ΣТ = 0 находим значение момента X:

Т₁ +Т₂ – Т₃ – X = 0;

X= Т ₁ + Т ₂ – Т ₃ = 3 + 2 – 1 = 4 кН·м.

Вычисляем крутящие моменты на участках вала.

Участок AB: M = T ₁ = 3 кН·м;

Участок BC: M = T ₁ + T ₂ = 3 + 2 = 5 кН·м;

Участок СD: M = T ₁ + T ₂ – T ₃ = 3 + 2 – 1 = 4 кН·м.

По найденным значениям строим эпюру крутящих моментов (рис. 7).

 

Рис. 7. Расчётная схема вала и эпюра крутящих моментов

Диаметр вала определим из условия прочности на кручение:

, (4)

где W_p = 0,2d³ – полярный момент сопротивления вала круглого сечения.

Тогда диаметр вала:

(5)

Подставляя числовые значения, получим

м

Округляя полученное значение диаметра до стандартного значения, получим

d = 70 мм

Определим диаметр вала из условия жёсткости:

, (6)

где G – модуль упругости 2 рода

I_p = 0,1d⁴ – момент инерции круглого сечения вала.

Тогда

(7)

Подставляя числовые данные, получим:

0,075 м

Округляя до стандартного значения, получим d = 75 мм.

Из двух расчётных диаметров (по критерии прочности вала и по условию жёсткости) выбираем наибольшее значение, т.е. принимаем d = 75 мм

Ответ: 75 мм

 

Задача 3.

Расчёт консольной балки на плоский изгиб

 

Для заданной схемы балки (рис. 8) требуется:

1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

2. Для опасного сечения определить размер квадратного сечения из условия изгибной прочности.

Данные для расчёта взять в таблице 3 (если какая-либо величина в таблице имеет значение со знаком «-», то она считается направленной в противоположную сторону).

 

Рис. 8. Варианты расчётных схем балок

Пример расчёта консольной балки на изгиб.

Для заданной схемы балки (рис.9) требуется:

1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

2. Для опасного сечения определить размер квадратного сечения из условия изгибной прочности.

Данные для расчёта:

a = 2,4 м, b = 2,2 м, с = 2,0 м, d = 3,0 м

q = 1 кН/м, Р = 2 кН, М = 4 кН·м [σ] =200 МПа

 

Таблица 3

 

Исходные данные для расчёта балки

Вариант	Распределенная нагрузка q, кН/м	Сосредоточенная сила Р, кН	Момент пары сил М, кН·м	Линейные размеры, м	Допускаемое нормальное напряжение [σ], МПа
a	b	c
				0.1	0.2	0.3
		-4	0.5	0.2	0.4	0.4
				0.3	0.3	0.4
			0.5	0.1	0.2	0.2
			-1	0.4	0.2	0.3
		-2	0.5	0.3	0.5	0.2
				0.5	0.2	0.3
			-1	0.4	0.2	0.4
		-8	0.5	0.3	0.2	0.5
				0.3	0.3	0.4

 

Решение

 

Для данной схемы консольной балки реакции в заделке можно не определять, если при этом начинать решение задачи с наиболее удалённого от заделки конца.

Расставим характерные точки: точки А и В – начало и конец распределённой нагрузки, С – точка приложения сосредоточенного момента пары сил, D – точка приложения сосредоточенной силы, Е – конечная тока (заделка).

Таким образом, необходимо рассмотреть 4 характерных участка, начиная с левого конца балки.

 

Рис. 9. Расчётная схема балки на изгиб и эпюры внутренних силовых факторов

Используем метод сечений.

Рассмотрим участок АВ.

Проведем сечение I-I в произвольном месте балки между точками А и В, зададим положение сечения координатой х₁, отсчитываемой от левого конца балки, отбросим правую часть балки, оставив в рассмотрение левую от сечения часть, а действие отброшенной части заменим реакцией.

В случае плоского изгиба возникают два внутренних силовых фактора: поперечная сила Q и изгибающий момент М.

В соответствии с характером деформации, на рис. 10 показано правило знаков при изгибе [1, 2, 3].

Рис. 10. Правило знаков при изгибе

 

Запишем уравнение поперечной силы в рассматриваемом сечении:

Т.е. поперечная сила на участке АВ переменная, линейно зависит от координаты х₁.

Определим значение поперечной силы в крайних точках участка АВ; при этом, поскольку сечение проводили в произвольном месте на участке АВ, необходимо рассмотреть всю совокупность возможных положений сечений, т.е.

.

При х₁ = 0

Q = 1·0 = 0 кН

При х₁ = а = 2,4 м

Q = 1·2,4 = 2,4 кН

Запишем уравнение изгибающего момента в сечении I-I.

Изгибающий момент на участке АВ определяется квадратичной зависимостью.

График изгибающего момента на участке АВ можно построить по 3 точкам, используя основные свойства эпюр Q и М: на данном участке эпюра изгибающего момента представляет собой параболу, выпуклостью направленной к распределённой нагрузке.

При х₁ = 0

М = 1·0² = 0 кН·м

При х₁ = а /2 = 1,2 м

М = 1·1,2² /2= 0,7 кН·м

При х₁ = а = 2,4 м

М = 1·2,4² /2= 2,9 кН·м

 

Далее аналогично рассмотрим остальные участки.

Участок ВС.

Проводим сечение II-II, на расстоянии х₂ от левого края балки, отбрасываем правую часть, заменив её действие реакцией. При этом

Запишем уравнения для поперечной силы Q и изгибающего момента М для данного сечения.

Т.е. на участке ВС значение силы Q не зависит от положения сечения и равно:

Q = 1·2,4 = 2,4 кН

Изгибающий момент:

линейно зависит от координаты поперечного сечения.

При х₂ = а = 2,4 м

М = 1·2,4·(2,4 – 2,4/2) = 2,9 кН·м

При х₂ = а+b = 2,4 + 2,2 = 4,6 м

М = 1·2,4·(4,6 – 2,4/2) = 8,2 кН·м

Участок С D.

Проводим сечение III-III, на расстоянии х₃ от левого края балки, отбрасываем правую часть, заменив её действие реакцией. При этом

Запишем уравнения для поперечной силы Q и изгибающего момента М для данного сечения.

Т.е. на участке СD значение силы Q не зависит от положения сечения и равно:

Q = 1·2,4 = 2,4 кН

Изгибающий момент:

линейно зависит от координаты поперечного сечения.

При х₃ = а+b = 2,4 + 2,2 = 4,6 м

М = 1·2,4·(4,6 – 2,4/2) - 4 = 4,2 кН·м

При х₃ = а+b+c = 2,4 + 2,2 + 2,0 = 6,6 м

М = 1·2,4·(6,6 – 2,4/2) - 4 = 9,0 кН·м

Участок DE.

Проводим сечение IV-IV, на расстоянии х₄ от левого края балки, отбрасываем правую часть, заменив её действие реакцией. При этом

Запишем уравнения для поперечной силы Q и изгибающего момента М для данного сечения.

Т.е. на участке DE значение силы Q не зависит от положения сечения и равно:

Q = 1·2,4 - 2 = 0,4 кН

Изгибающий момент:

линейно зависит от координаты поперечного сечения.

При х₄ = а+b+c = 2,4 + 2,2 + 2,0 = 6,6 м

М = 1·2,4·(6,6 – 2,4/2) – 4 – 2·(6,6 – 2,4 – 2,2 - 2,0) = 9,0 кН·м

При х₄ = а+b+c+d = 2,4 + 2,2 + 2,0 + 3,0 = 9,6 м

М = 1·2,4·(9,6 – 2,4/2) – 4 – 2·(9,6 - 2,4 – 2,2 - 2,0) = 13,2 кН·м

По полученным данным строим эпюру поперечных сил и эпюру изгибающих моментов.

Проверяем построение в соответствии с основными свойствами эпюр [1-3]:

Ø на участке АВ, где приложена распределённая нагрузка, эпюра Q имеет линейную зависимость, эпюра М – парабола, направленная выпуклостью к нагрузке;

Ø на участке ВС нет распределенной нагрузки, эпюра Q – прямая, параллельная нулевой линии, эпюра М – линейная зависимость;

Ø в точке С приложен сосредоточенный изгибающий момент, на эпюре Q без изменений, на эпюре М – скачок на величину и по знаку приложенного момента;

Ø на участке CD зависимости аналогичные участку ВС;

Ø в точке D приложена сосредоточенная сила, на эпюре Q скачок по величине и знаку данной силы, на эпюре М – перегиб графика (изменение угла наклона).

Для расчёта балки на прочность необходимо установить опасное сечение – то сечение, в котором изгибающий момент имеет наибольшее абсолютное значение. Для данного примера очевидно, что опасным сечением является заделка (точка Е).

Условие изгибной прочности балки записывается выражением:

, (8)

где М_max – максимальный изгибающий момент (в опасном сечении), Н·м;

W_z – осевой момент сопротивления поперечного сечения балки, м3, для квадратного сечения W_z = a ³/6 (a – сторона квадрата, м)

[ σ ] – допускаемое нормальное напряжение.

Тогда из формулы (8) выразим размер квадратного сечения:

(9)

Подставляя числовые данные, получим:

м

Принимаем a = 75 мм

 

Задача 4.

Расчёт однопролётной балки на плоский изгиб

 

Для заданной схемы балки (рис. 11) требуется: